Estimar derivadas con dos rectas secantes consecutivas

la tabla muestra al número de tiendas de una cadena estadounidense de café del 2000 al 2006 el número de tiendas registrado es el número al comienzo de cada año en digamos enero 1 o el primero de enero y aquí nos da la información a cada año que es el tiempo t nos dan el número de tiendas que había aparece entonces determina una aproximación razonable para la razón de cambio instantánea de tiendas de café por año a principios del 2003 ok entonces tomando el promedio de dos pendientes de dos secantes cercanas vamos a hacerlo aquí en este en la herramienta de dibujo y lo que nos están pidiendo es aproximar la tasa de cambio instantánea en 2003 muy bien es una aproximación razonable a la razón de ca'n instantánea y lo que hay que tomar es el promedio de dos pendientes de dos secantes cercanas muy bien entonces aquí yo tengo graficado digamos el número de tiendas en cada año 2000 2001 2002 2003 etcétera y lo que nos dice es fíjate en 2003 vamos a ponerlo con color azul como lo tenemos fíjate en 2003 muy bien quién sabe cómo sea esta curva quizás va algo así no lo sabemos quién sabe cómo vaya pero el detalle es que no importando cómo va la curva queremos calcular una aproximación de la recta tangente en 2003 entonces digamos que la recta tangente en 2003 que bueno no no la recta tangente sino la pendiente de esa recta tangente a lo mejor se ve más o menos así la recta tangente y queremos aproximar eso como un promedio de dos dedos recta secantes cercanas por ejemplo podemos tomar esta de aquí esta recta secante y también podemos tomar esta otra esta otra ok entonces si hacemos el promedio de esas dos eso será una muy buena aproximación más o menos de lo que es la recta tangente en este punto muy bien entonces vamos a hacer eso digamos si llamamos a ese dt el número de tiendas tiendas y por supuesto es una función que depende del tiempo aquí va a estar t y que puede ser los años pueden ser los años acá están las tiendas muy bien entonces vamos a calcular las pendientes de las rectas y kansas empecemos digamos con la rosa la rosa la pendiente está pendiente es el número de tiendas en 2003 - el número de tiendas en 2002 verdad esto es nuestro cambio y esto sería este cambio en que entre la diferencia de años que es 2003 - 2002 entonces esto es muy sencillo porque abajo nos queda 11 y arriba que nos da cuántas tiendas había en 2003 había 4 mil 272 menos el número de tiendas en 2002 que eran 3.500 1 entonces déjenme déjenme hacer esta esta resta 4272 menos 3.501 entonces decimos dos menos uno es 1 707 aquí no es 2 sería 12 verdad esto pasa a ser un 3 y aquí es un 12 12 menos 5 son 7 y 3 menos tres son 0 entonces nos quedan 771 tiendas tiendas por año por año eso es digamos la velocidad promedio de crecimiento del número de tiendas de 2002 a 2003 ok ahora lo que tenemos que hacer es calcular el número de tiendas o bueno la pendiente de esta recta secante roja verdad que es más o menos la velocidad promedio a la que crecieron el número de tiendas y es lo mismo verdad tenemos el número de tiendas pero ahora en 2004 y le restamos el número de tiendas en 2003 y dividimos entre la diferencia de los años que es 2004 - 2013 entonces otra vez en el denominador es sencillo es un 1 y el número de tiendas en 2004 fueron 5 mil 239 menos el número de tiendas en 2003 que son 4 mil 272 vamos a hacer esto y nos queda 5 mil 239 menos 4 mil 272 y decimos 9 menos dos son 7 y aquí no es un 3 es un vamos a ponerlo como 13 13 7 son 6 muy bien y ahora tenemos uno menos dos y eso no funciona hay que quitarle uno aquí y ponerle como un 11 11 menos dos son siete y cuatro menos cuatro es cero entonces tenemos es no expenden once menos dos son nueve no son siete son aquí son 94 menos cuatro son cero ahora sí entonces esto está velocidad promedio son 967 tiendas por año muy bien tiendas por año y ahora nos dice para calcular una aproximación de esta recta tangente hay que tomarnos el promedio entonces vamos a sumarle de una vez a esto de aquí las que teníamos este número que obtuvimos hace unos momentos lo sumamos verdad y luego dividimos entre dos entonces esencialmente lo que queremos hacer en un promedio es 967 más 771 entre 2 eso es lo que queremos calcular entonces si los sumamos aquí nos da 7 más uno son 8 6 y 7 son 13 tenemos 19 y 1 son 10 y 7 son 17 muy bien entonces estos mil 738 entre 2 hay que dividir verdad mil 738 entre 2 entre 2 son dos por 8 son 16 para 17 es una bajamos este 3 y ahora 2 por 6 son 12 para 3 es una bajamos el 8 y 2 por 9 son 18 y nos queda un residuo de 0 así que el la bueno una aproximación a la tasa de cambio instantánea serían 869 tiendas por año en tiendas por año por año muy bien ahora vamos a ver si podemos si la respuesta es correcta 869 869 y es correcto