Derivadas de funciones inversas: a partir de una tabla

sean g y h funciones inversas y recordemos rápidamente que significa que dos funciones sean inversas significa que si tenemos dos conjuntos de números y si pensamos que este primer conjunto es el dominio de la función g y bueno podemos empezar por aquí con un punto x que va a mandar a este valor x a otro valor que se llama g de x ok esto es lo que hace la función g pero ahora si h es la función inversa de g y sucede lo mismo si intercambiamos los nombres pero si h es la función inversa de g entonces h va a mandar a este otro punto a x h nos regresaría al valor original así es que por un lado a este punto le podemos llamar x pero por otro lado también le podemos llamar h deje de equis h deje de equis hice este dibujo por aquí para explicarte muy a fondo qué es lo que está pasando y estés de acuerdo cuando yo escriba que h de eje de x es igual a equis y de la otra forma también g de h de x también es igual a x aunque ya que pusimos este x por acá pero pudimos haber empezado por acá en este diagrama podríamos simplemente cambiar la h por la g así es que también podemos decir que g de h de x es igual a equis y luego nos dan aquí un poco más de información nos dan una lista con algunos valores de g h i g prima y lo que nos piden es que encontremos h prima de 3 pero aquí no nos dan la función h prima de x ni siquiera nos dan la función h completa así es que cómo le hacemos para encontrar este valor única información que tenemos son estos dos valores de g prima de h y de g como le vamos a hacer para encontrar h prima de 3 bueno pues vamos a hacer algo muy interesante derivado de la regla de la cadena y este no es un problema que te vayas a encontrar muy seguido pero es un problema muy interesante así es que lo vamos a resolver y bueno también puede ser que lo encuentres en tu clase de cálculo vamos a empezar con alguna de estas dos expresiones creo que vamos a empezar con esta expresión tenemos que g de h de x es igual a equis y bueno esto es cierto siempre que sean funciones inversas y ahora vamos a sacar la derivada con respecto de x de ambos lados y para encontrar esta derivada lo que tenemos que hacer es usar las y la de la cadena que nos dice que está derivada es igual a g prima de h de x por h prima de x ésta es la derivada del lado izquierdo fue simplemente aplicar la regla de la cadena aquí y tiene que ser igual a la derivada con respecto de x de x pero eso a cuanto es igual bueno pues esto es igual a 1 es bastante interesante porque ve por ejemplo aquí nosotros queremos encontrar h prima de 3 porque queremos encontrar h prima de 3 para eso podemos encontrar h de tres y lo que sea que no salga aquí el valor hd3 cualquiera que sea ese lo podemos utilizar para encontrar que prima de ese valor y ya que tengamos esta parte resuelta entonces ya vamos a saber exactamente cuánto es h prima de 3 pero bueno para no estar confundiendo tanto deberíamos describirlo de una forma más directa porque tenemos que h prima de x es igual a 1 entre g prima de h de x en algunos lugares van a recomendarte que te aprendas de memoria esta fórmula y eso puede llegar a ser útil por ejemplo para resolver estos ejercicios de khan academy sería útil aprenderse la pero yo por ejemplo hace más o menos 25 años que tomé el curso de cálculo y este tipo de información las fórmulas la verdad no es el tipo de cosas que mi memoria a largo plazo retiene yo no me acordaba de esta fórmula pero de lo que sí me acordé perfectamente es de cómo obtenerla a partir de la definición de funciones inversas y de la regla de la cadena pero bueno utilicemos esta fórmula para encontrar h prima de 3 h prima de 3 es igual a 1 / que prima de h de 3 y yo la verdad estoy suponiendo que nos dieron estos valores a ver vamos a buscar h de tres cuando x es igual a 3 h es igual a 4 pies que hd 3 es igual a 4 y ahora nada más tenemos que encontrar cuánto es que prima de 4 ok pero afortunadamente nos dieron ese valor cuando x es igual a 4 que prima de x es un medio entonces que prima de 4 un medio a ver entonces h prima de 3 es igual a 1 entre un medio pero 1 entre un medio es igual a 2 y listo ya terminamos h prima de 3 es 2