La forma formal y alternativa de la derivada

pensemos en cómo encontraríamos la pendiente de la línea tangente a esta curva dada por la gráfica de una función y que sea justo aquí en el punto x igual a entonces hemos visto esto con la definición de derivada ahora vamos a buscar una función que nos dé la pendiente de la línea tangente en cada punto que a nosotros se nos ocurra por ejemplo si nos tomamos un x arbitrario digamos aquí este x ahora vamos a pensar en qué pasa o bueno si si tomamos ese punto aquí entonces este punto de la gráfica es x coma f x muy bien entonces nos interesa saber cuál es la pendiente de la recta tangente en ese punto y para eso vamos a tomarnos un punto que esté más alejado de de x digamos este que sea un x más h y también nos fijamos en el punto que se encuentra sobre la gráfica dado por x + h coma de x + h muy bien este es un punto sobre la gráfica y ahora consideramos la línea secante que une estos dos puntos digamos porque se quedó un poco un poco chueco pero vamos a hacerlo un poquito mejor y más o menos ahí se ve que se cante verdad va por debajo de la curva entonces para calcular la pendiente de esta recta secante pues simplemente tenemos que dividir el incremento en la dirección vertical y el incremento entre el incremento en la dirección horizontal entonces el incremento en la dirección vertical pues no es otra cosa más que en x + h y le restamos lo que teníamos originalmente que es f x muy bien y todo esto ahora lo dividimos entre el incremento en la dirección horizontal que es x + h x + h - menos x muy bien entonces de hecho estas dos x se pueden cancelar esta se cancela con esta otra verdad y entonces así es como nos queda esta definición del límite perdón de la pendiente dejar recta secante y estoy pensando en límites porque ahora necesito que este punto x + h se aproxime tanto como yo quiera a este punto x para que así esta recta secante se vaya convirtiendo poco a poco en la pendiente bueno la pendiente de la recta secante poco a poco se convierte en la pendiente de la recta tangente entonces para que esto se aproxime a x lo que necesitamos es hacer que esta h se parezca cada vez más a 0 entonces utilizamos cuando h tiende a 0 de todo esto y si este límite existe esto es justamente a lo que le vamos a llamar la derivada de f evaluada en x muy bien para x arbitrario y eso es una función de x tú me das una equis y yo te voy a escupir el valor dado por este límite y que sabemos que es la pendiente de la recta tangente muy bien y eso en cualquier punto x ahora bien nosotros dijimos que queríamos la pendiente en el punto a así que pues necesitamos calcular esto en el punto a es decir queremos calcular la derivada en a y eso no es otra cosa más que el límite cuando h tiende a cero y en vez de poner x voy a poner la verdad entonces déjenme deje no escribirlo así efe de algo más h menos efe de algo sobre todo eso sobre h muy bien y ese algo pues dijimos que lo queremos evaluar en a verdad estamos calculando en nada entonces aquí tiene que ir una muy bien con rojito y esta definición es la pendiente de la recta tangente en el punto a ahora podemos hacerlo de otra forma y que es hacerlo directamente verdad por ejemplo tenemos aquí esto vamos a considerar un punto cualquiera digamos digamos este x vamos a tomarnos este x y consideramos este punto sobre la gráfica que es x coma fx y ahora pensamos en la recta secante nuevamente que une a estos dos puntos verdad el punto morado y el punto rojo entonces para calcular la pendiente de esa recta secante pues hacemos lo mismo la diferencia en la componente vertical que es f x menos f de a muy bien todo esto sobre x x menos - esta es la definición del límite perdón la verdad la definición de la pendiente de esta recta secante ahora si hacemos que este x se aproxime muchísimo al al punto a entonces calculamos el límite cuando x tiende a a y esta definición también es equivalente a lo que es la derivada solo que ya le estamos evaluando directamente en el punto que nos interesa que está muy bien entonces la secc ante la próxima y la pendiente de la recta secante está dada por esto así que cuando metemos el límite se convierte en la pendiente de la recta tangente lo que es esencialmente la derivada ok entonces tuvimos dos formas para calcular esta derivada una digamos que es en general y luego ya sustituimos en el valor que nos interesaba y lo hacemos en este punto particular pero esencialmente estas dos definiciones hacen lo mismo