Derivación implícita

en esta ocasión vamos a partir sobre la relación x cuadrada más y cuadrada igual a 1 y si tú te acuerdas un poco de geometría lo que vas a recordar es que esto es una circunferencia que tiene el centro en el origen y además tiene el radio igual a 1 es decir la circunferencia unitaria y bueno en esta ocasión lo que me quiero preguntar es cómo encontramos la pendiente de la recta tangente a cualquiera de los puntos de esta circunferencia seguramente lo primero que me vas a decir es que esto es una relación no es una función de x como las que siempre hemos manejado y más aún tenemos dos yes una positiva y una negativa para cada valor de x por lo tanto me vas a decir es que esto no está expresado como una función yo lo puedo despejar y ponerlo como la siguiente función y es igual a la raíz de 1 - x cuadrada pero ésta solamente sería la parte de arriba del círculo porque es la raíz positiva y para la parte de abajo necesitaríamos otra función es la función y es igual a menos la raíz cuadrada de 1 - x cuadrada y con esto ya tendríamos las dos funciones y ya podríamos derivar las como siempre o sabido sin embargo en esta ocasión lo que quiero ver es la derivada implícita es decir no es necesario siempre despejar ayer para poder obtener la pendiente de la recta tangente y bueno la idea para poder operar con la derivada esta relación que yo tengo aquí es utilizar la regla de la cadena la regla de la cadena que iba a ser muy importante para poder resolver este tipo de derivadas y lo que no quiero que pierdan de mente es que muchas veces si tenemos una relación no es nada sencillo poder despejar ayer por lo tanto siempre se utiliza la derivada implícita la derivada implícita que es justo lo que vamos a ver en este vídeo y en los vídeos posteriores a este y bueno la idea es aplicar el operador derivada con respecto a x de ambos lados de la ecuación vamos a hacerlo lo que yo tengo es la derivada con respecto a x de la primera parte de la ecuación es decir x cuadrada más d cuadrada y aquí voy a cerrar los corchetes y por el otro lado tengo que esto es igual a la derivada con respecto a x del otro lado de la ecuación esto lo hemos hecho siempre recuerden que cuando yo aplico un operador a un lado de la ecuación para que se mantenga la igualdad lo tengo que aplicar también para el otro lado de la ecuación y bueno ahora si si yo tengo la derivada de una suma esta es la suma de las derivadas por lo tanto esto es lo mismo que la derivada con respecto a x de el primer término recuerden que lo que estamos haciendo sea abrir la suma de las derivadas más la derivada con respecto a x del segundo término y bueno el primer término es x cuadrada entonces voy a poner aquí y el segundo término es de cuadrada y bueno aquí tenemos la derivada con respecto a x de uno pero uno es una constante entonces el operador derivada lo manda a cero desaparece recuerden que la derivada de una constante se va a cero y bueno aquí tengo una derivada muy sencilla de hacer es la derivada con respecto a x de x cuadrada esto es 2x entonces aquí no hay ningún problema es la derivada simple sencilla como siempre la conocemos por otra parte aquí tenemos con respecto a x de cuadrada y es justo aquí cuando voy a usar la regla de la cadena porque tengo la derivada de una función elevada al cuadrado por lo tanto que es lo que nos dice la regla de la cadena la regla de la cadena lo que nos dice es derivamos esta función ya cuadrada con respecto a la variable dependiente es decir con respecto al primero y después a esto hay que multiplicarlo con la derivada de y con respecto a x esto lo trabajamos muchas veces y de hecho hay varios vídeos que hablan acerca de la regla de la cadena primero hay que derivar esta función con respecto a james y multiplicarlo por la derivada de jake con respecto a x sin embargo la derivada de ya cuadrada con respecto al yen pues es una derivada muy sencilla es muy parecida a la derivada que tenemos a la izquierda y después hay que multiplicarlo por la derivada de y con respecto a x es decir ye prima y para que quede más claro lo voy a escribir aquí es la derivada con respecto a x de perú función de x es una función de xy bueno no quiero la derivada de esta derivada de esto elevado al cuadrado y por la regla de la cadena lo que dice es que hay que derivar esto con respecto a y esto con respecto a ayer por la derivada de que con respecto a x es decir la derivada de x con respecto a x esto no es ni más ni menos que aplicar bien la regla de la cadena y no me voy a cansar de repetirlo es más tanto que lo voy a escribir aquí esto es por la regla de la cadena y bueno ya que tengo esto voy a terminar de resolver esta ecuación yo tengo 12 x más lo voy a poner aquí la derivada de ye cuadrada con respecto a y es lo mismo que dos veces ya es justo lo mismo que teníamos del lado izquierdo la derivada de ye cuadrada con respecto ayer y la derivada de que con respecto a x pues es justo lo que no sabemos es justo lo que queremos la derivada de ya con respecto a x por lo tanto me queda 2 y por ende x y ahora sí vamos a sustituir me queda 2 x más la derivada de cuadrada con respecto a la que me quedó dos veces james 2x más dos veces y por la derivada de con respecto a x esto lo ponemos normal es justo lo que queremos y es igual a lo que tenemos del lado derecho del lado derecho solamente tenemos cero y ahora sí voy a resolver esta ecuación porque se dan cuenta en esta ecuación o en esta igualdad que tenemos aquí ya puedo despejar a la derivada de con respecto a x y de hecho es justo lo que quiero porque la derivada de ya con respecto a x es la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de nuestro de nuestra circunferencia unitaria por lo tanto para tener más espacio voy a cortar esto voy a copiar esto y a pegarlo otra vez aquí jajajaja eso fue magia como vieron y entonces ahora sí voy a despejar la derivada de ya con respecto a x y para esto lo que voy a hacer es restar a 2 x de ambos lados de la ecuación por lo tanto me va a quedar que el 2x lo voy a pasar del otro lado de la ecuación con signos me quedan menos 2x y ahora me estorba el 2 y el 2 ya está multiplicando la derivada de ya con respecto a x por lo tanto lo que voy a hacer es dividir a ambos lados entre 22 y entre 210 se cancela y del lado izquierdo solamente me queda la derivada de ye con respecto a x que es justo lo que queríamos mientras que del lado derecho el 2 con el 2 se puede cancelar y me queda solamente menos x sobre 100 - x sobre james y ya con esto logramos por fin despejar a la derivada de y con respecto a x sin embargo si se dan cuenta en esta ocasión no solamente depende de x también depende de james y qué quiere decir esto seguramente para ustedes se suena bastante raro que esté sucediendo esto pero por ejemplo tomemos un punto en nuestra circunferencia unitaria voy a suponer este punto de aquí que si ustedes están familiarizados con la circunferencia de radio 1 y este ángulo es de 45 grados por lo tanto este punto es raíz de 2 sobre 2 coma raíz de 2 sobre 2 y bueno yo quiero saber la pendiente de la recta tangente justo en este punto por lo tanto lo único que hay que hacer es sustituir en la derivada de ya con respecto a x es decir si yo aquí tengo a mi recta tangente y lo que quiero es sacar la pendiente de esta recta tangente lo que tengo que hacer es menos x es decir menos raíz de 2 sobre 2 entre sí es decir raíz de 2 sobre 2 y al final todo esto me da menos 1 ni pendiente en este caso sería menos 1