Derivada de la inversa del seno

lo que me gustaría explorar en este vídeo es ver si podemos calcular la derivada de ye con respecto x cuando ya es igual al seno inverso el seno inverso de x y como siempre te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta aunque ahora te voy a dar dos pistas no sabemos por supuesto cuál es la derivada del seno inverso de x pero sí sabemos cuál es la derivada de seno de algo así es que podemos regular esta expresión y entonces derivando implícitamente encontrar de y en de x pues recuerda que deje en de x es lo que estamos buscando básicamente queremos encontrar la derivada con respecto a x de esto de aquí supongo que ya lo intentaste ahora hagámoslo juntos sigue es igual a seno inverso de x eso es equivalente a decir que seno de iu es igual a x seno de y es igual a equis y ahora ya tenemos términos a los cuales estamos más acostumbrados aquí podemos hacer derivación implícita podemos derivar ambos lados con respecto a x derivamos con respecto a x el lado izquierdo y derivamos con respecto a x el lado derecho ahora cuál es la derivada con respecto a x de seno de iu para esto aplicamos la regla de la cadena esto va a ser la derivada con respecto a y de seno de g qué es coseno de y que multiplica a la derivada con respecto a x de iu es decir por d y én de x lo cual es igual a la derivada con respecto a x de x que ya sabemos que es igual a 1 despejando ahora de jane de x dividiendo ambos lados entre coseno de y obtenemos que deje en de x es igual a 1 sobre coseno de y sin embargo esto no nos sirve mucho pues tenemos la derivada en términos de i y la necesitamos en términos de x que podemos hacer bien ya sabemos que x es igual a seno de y déjame escribir eso x es igual a seno de g y aquí tenemos coseno de y en el denominador si usamos identidades trigonométricas para escribir esto en términos de seno de iu estaremos cerca de nuestro objetivo pues x es igual a seno de g y esto como lo logramos bueno si recordamos nuestras identidades trigonométricas sabemos que seno cuadrado de i + coseno cuadrado de y esto es igual a 1 despejamos coseno cuadrado de y restando seno cuadrado de ambos lados para obtener que coseno cuadrado de l es igual a 1 menos seno cuadrado de ye vamos a despejar coseno de y sacando raíz cuadrada a ambos lados con lo cual coseno de iu es igual a la raíz cuadrada principal de uno menos seno cuadrado de g así es que podemos escribir esto como uno sobre coseno de y que ya vimos que es la raíz cuadrada de uno menos seno cuadrado de iu y que ganamos con esto bueno pues seno de iu es x así es que esto es igual a equis cuadrada déjame escribirlo de la siguiente manera para que lo veamos claramente esto es seno de iu elevado al cuadrado así es que esto es igual 1 sobre la raíz cuadrada de 1 - seno del xx menos x al cuadrado y ya lo tenemos esta es la derivada con respecto a x de seno inverso de x la derivada con respecto a x de seno inverso de x es igual a 1 sobre la raíz cuadrada de 1 - x cuadrado quiero que quede muy claro esto al derivar a ambos lados aquí con respecto a x obtuvimos que la derivada de ye con respecto a x es igual a esto de acá es decir hemos obtenido que la derivada con respecto a x de seno inverso de x esto es igual a 1 sobre la raíz cuadrada de 1 - x cuadrada esta prueba la puede repetir siempre que te falle la memoria como suele suceder y así te familiarizas con este resultado pero es bueno aprender de esto sobre todo a medida que avanzas en cálculo y pudieras encontrarte con esta expresión y decir ay esa es la derivada de s inverso de x así esto te habrá sido sumamente útil