Diferenciar funciones logarítmicas usando las propiedades del logaritmo

digamos que tenemos la función fx igual a logaritmo natural de x + 5 entre x menos 1 muy bien esta es nuestra función y nos preguntan quién es la derivada de f muy bien quién será la derivada de f así que te invito a que hagas una pausa y que pienses cuál sería la respuesta a este problema bien entonces yo yo digo que al menos hay dos formas de hacerlo una que es muy fácil pero de verdad es muy fácil y otra que es un poco más difícil muy bien entonces en este vídeo vamos a resolver ambas formas primero vamos a resolver resolver el fácil tenemos que utilizar primero las propiedades del logaritmo natural entonces el logaritmo natural de un cociente es decir de a entre b es igual a logaritmo natural de a menos el logaritmo natural de b muy bien entonces qué es lo que tenemos ahora si utilizamos esta propiedad y por supuesto cuando habló del logaritmo natural estoy hablando del logaritmo base el número y muy bien entonces si yo utilizo esa propiedad en esta función que es lo que obtenemos que fx es el logaritmo natural de este cociente que sería el logaritmo natural de x + 5 menos el logaritmo natural de x menos 1 muy bien entonces si ya tenemos esto podemos derivar la derivada de fx será la derivada de ésta de esta parte menos la derivada de esta otra parte quien es la derivada del logaritmo natural de x más 5 pues es la derivada del logaritmo natural respecto de x 5 que es 1 / x + 5 por la derivada de x 5 con respecto de x que es uno muy bien de la misma forma y bueno esto esto de aquí es la derivada de esta parte de aquí es justamente esta expresión y restamos la derivada del logaritmo natural con respecto de x menos uno que es uno entre x menos 1 por la derivada de x menos 1 con respecto de x que es 1 entonces esta derivada fue la derivada de de este logaritmo es 1 / x menos 1 y eso fue simplemente utilizando regla de la cadena y ya está la derivada ya es ya ya terminamos cuál es a lo mejor tú creerás que fue muy fácil y de verdad lo es ahora te preguntarás cuál es la forma difícil y quizás así lo intentaste antes de que empezáramos a resolver el ejercicio y la forma difícil de resolver este problema es no simplificando el logaritmo es decir utilizar solo regla de la cadena muy bien entonces utilizando solo regla de la cadena quien sería la derivada de f la derivada de f sería la derivada del logaritmo natural con respecto a x + 5 entre x menos 1 que es 1 / x 5 sobre x menos 1 por la derivada de x de hecho déjenme hacerlo con otro color digamos vamos a ponerlo primero aquí así la derivada del logaritmo natural con respecto de x 5 entre x menos uno es uno entre x 5 sobre x menos 1 muy bien sería algo así por la derivada de lo que estaba dentro verdad que es la derivada de x + 5 entre x menos 1 la derivada con respecto de x de x + 5 entre x menos 1 muy bien y esto quien es quien va a ser esta expresión bueno uno entre x 5 entre x menos 1 simplemente tomando recíprocos o usando la regla del sándwich es x menos 1 entre x 5 y ahora derivamos esto verdad y quizás te pase como a mí que a veces no nos acordamos bien de cómo era la regla del cociente pero pues eso es muy fácil porque puede uno ponerlo como x 5 x x menos 1 a la menos 1 y entonces ya en vez de acordarse de la regla del cociente puedes simplemente utilizar la red el producto que yo digo que es un poco más fácil de acordarse entonces como ves aquí está la razón de por qué es mucho más difícil que la que el otro método muy bien entonces quién será esto simplemente sustituimos de nuevo y esto es x menos 1 / x + 5 y hay que multiplicar por esta derivada entonces si derivamos el primer término con respecto de x nos queda la derivada de x 5 con respecto de x es 1 por x menos 1 a la menos uno que es 1 / x menos 1 y ahora sumamos simplemente derivamos x menos 1 a la menos uno que es bueno según la regla de los digamos de los exponentes es menos x menos 1 a la menos 2 verdad que es uno entre x menos menos uno al cuadrado muy bien y luego multiplicamos por este que no le hicimos nada verdad entonces multiplicamos por equis 5 muy bien ahí lo tienen vamos a bajar un poco y si reescribimos esto todavía más esto es x menos 1 entre x más 5 vamos a simplemente vamos a simplificar esto esto es 1 / x menos uno menos x 5 sobre x menos 1 al cuadrado muy bien ahora qué pasa si nosotros hacemos la distribución de este producto bueno veamos que el primer caso este numerador se cancela con el denominador verdad es decir si hacemos este producto nos queda x menos 1 se cancela con x menos 1 y nos queda uno entre x 5 - y ahora vamos a ver si ahora multiplicamos este número por este otro tenemos que x menos 1 se cancela con uno de estos x menos 1 y el x 5 se cancela con este x + 5 y nos queda 1 / x menos 1 y esto es la derivada de f y que para nuestra suerte obtuvimos el mismo resultado que antes pero como verás en este caso fue mucho más difícil que el primer método