Derivada del logaritmo para cualquier base (viejo)

bueno ya sabemos todos que en la derivada con respecto de x b el logaritmo natural de x o sea el logaritmo base donde este es un número muy especial de clics es la derivada con respecto x de el logaritmo natural de x que es 1 / x pero qué pasa con la derivada de logaritmos con otras bases ya por ejemplo qué pasa con la derivada del logaritmo base b de x donde b es una base arbitraria o sea puede ser cualquier base y bueno como evaluamos esto esto a que es igual y el truco está en encontrar una expresión para el logaritmo base b en términos del logaritmo natural y bueno resulta que nosotros ya demostramos en algún lado de la página de khan academy y puedes ir a buscar lo que hay una expresión para el logaritmo base b en términos del logaritmo natural y bueno aquí nada más lo voy a volver a escribir que logaritmo base b de x es igual a logaritmo base de x que es no es nada más que el logaritmo natural de x / logaritmo base de b y otra vez o sea justo a este término es a lo que le llamamos logaritmo natural debe entonces usando esta expresión ya podemos sacar muy fácilmente la derivada o sea nada más tenemos que sustituirlo ahí y vamos a ver lo fácil que es entonces la derivada con respecto de x del logaritmo base b donde la vez cualquier va a servir área de x es igual a la derivada con respecto de x de pues aquí vamos a dividirlo no o sea vamos a ponerle 1 entre logaritmo natural de b que por cierto esto es una constante o sea la b es una constante porque es la base y entonces el logaritmo natural debe también es una constante por el logaritmo natural de x el logaritmo natural de x el cual éste si ya no es una constante entonces como éste es una constante entonces sale de la derivada y esto nos queda igual a 1 entre la constante logaritmo natural de b por la derivada con respecto de x de logaritmo natural de x y esto pues esto ya sabemos muy bien qué hacer no o sea hasta aquí lo escribimos en la esquina para que no se nos olvide entonces la derivada con respecto de x del logaritmo natural de x es 1 / x y tenemos que multiplicarlo por la constante que sacamos o sea 1 entre el logaritmo natural de b y listo esta es la derivada y bueno entonces ya sabemos muy bien cuál es la derivada con respecto de x del logaritmo base de de x para cualquier base ve por ejemplo qué pasaría si nosotros quisiéramos saber cuál es la derivada con respecto de x del logaritmo base 5 de x ya ya tienen la respuesta pues esto simplemente va a ser uno sobre logaritmo natural o sea logaritmo base de de 5 por equis y listo