Ejemplo resuelto: derivada de log₄(x²+x) con la regla de la cadena

supongamos que ya es igual a logaritmo base 4dx al cuadrado más x entonces cuál es la derivada de y con respecto a x bueno tal vez te des cuenta inmediatamente que ésta es una función compuesta porque estamos tomando el logaritmo base 4 pero no de x sino de una expresión que involucra a x de hecho podríamos decir que esta expresión es otra función llamada de x x es igual a x al cuadrado más x y bueno seguro va a ser útil más adelante tener a la mano la derivada de a que es utilizando la regla de las potencias nos queda que es 2x + 1 aquí tomé el exponente y lo puse al principio y luego le reste 1 y la derivada de x con respecto a x es 1 esta función logaritmo base 4 también podemos decir que es una función de de x entonces esta función de de x es el logaritmo base 4 de x y queremos tener a la mano su derivada ahora esta derivada ya la hemos visto en otros vídeos es muy parecida a la derivada del logaritmo natural pero como estamos tomando el logaritmo base 4 lo único que tenemos que hacer es escalar la la derivada del logaritmo base 4 de x es uno entre el logaritmo natural de 4 por x si tuviéramos por acá simplemente el logaritmo natural de x la derivada sería 1 / x este término de aquí logaritmo natural de 4 viene del cambio de base del logaritmo base 4 a logaritmo natural y las fórmulas de cambio de base y todas estas cosas las puedes repasar en uno de nuestros vídeos pero finalmente lo único que hace este término que es constante escalar a esta función hacerla más pequeña pero bueno ahora sí ya tenemos todo lo que vamos a utilizar aquí ya se puede escribir como ve de porque ve es la función logaritmo base 4dx y estamos evaluando a b en esta expresión pero esta expresión es la función y entonces tenemos b dv de x bueno pero voy a poner por aquí unas líneas para separar estos dos lados y como sabemos que ésta es una función compuesta sabemos por la regla de la cadena que la derivada de ye con respecto a x es la derivada de esta función con respecto a un o sea de primer evaluada en de x de x por la derivada de v con respecto a x osea q prima de x y entonces vamos a hacer esto por acá tenemos b prima de x y a partir de eso podemos construir b prima de v x lo único que tenemos que hacer es cada que veamos una x sustituirla por una u de x así es que esto es igual a b prima en nube x o sea la derivada de la función logaritmo base 4 evaluada en la función azul por acá tenemos la derivada y la queremos evaluar en esta expresión azul entonces nos queda uno entre logaritmo natural de 4 por x pero en lugar de poner a x vamos a poner un x y de equis y luego esto lo estamos multiplicando por prima de x por prima de x y estoy haciendo muchos pasos para que quede muy claro pero esto es igual a 1 / logaritmo natural de 4 por ud x pero ud x es x al cuadrado más x y luego multiplicamos por su prima de x que es 2 x + 1 y esto es igual a 2 x + 1 / logaritmo natural de 4 por x al cuadrado más equis y listo ya terminamos podríamos distribuir el logaritmo natural de 4 en esta expresión pero sólo si nos interesará no es necesario aquí ya tenemos la derivada de jake con respecto a x