Derivación de potencias fraccionarias

tenemos aquí a la función hdx que es igual a 5 por equis elevada a la potencia un cuarto más 7 y nos preguntamos cuánto vale h prima en 6 o sea cuánto vale la derivada de la función h si la evaluamos cuando x es igual a 16 y como siempre ponle pausa este vídeo e intentar resolverlo por tu cuenta bueno vamos a sacar esta derivada vamos a sacar primero la derivada del lado izquierdo y esa es simplemente h prima de x y luego para sacar la derivada del lado derecho podemos simplemente primero sacar la derivada de este término y después sumarle la derivada de 7 con respecto a x entonces vamos a empezar con la derivada de este término podemos simplemente utilizar la regla de las potencias pero esto aquí podría decirme oye espérame un momento aquí la potencia es una fracción se puede utilizar la regla de las potencias cuando la potencia es una fracción iii y si se puede la regla de las potencias es muy poderosa así es que vamos a tomar esta potencia la vamos a multiplicar por el coeficiente y entonces tenemos 5 por un cuarto un cuarto y luego multiplicamos por x elevada a la potencia un cuarto menos uno pero luego tenemos por aquí más siete y cuál es la derivada de siete con respecto a x el 7 no cambia cuando cambia x el 7 es una constante y hemos visto que las derivadas de las constantes son 0 y ahora ya nada más nos falta simplificar esta expresión tenemos que h prima de x es igual cinco cuartos por equis elevada a la un cuarto menos uno pero cuánto es un cuarto menos uno bueno pues esto son menos tres cuartos porque porque tenemos un cuarto menos cuatro cuartos y esos son menos tres cuartos y luego tenemos más cero pero eso no lo tenemos que escribir y listo esta es la derivada de la función h ahora nosotros lo que queremos es la derivada de h pero evaluada en 16 entonces vamos a evaluarla en 16 h prima de 16 es igual tenemos cinco cuartos por 16 elevado a la menos tres cuartos es igual a cinco cuartos 1 entre 16 elevado a la tres cuartos y eso también es igual a cinco cuartos por uno entre 16 elevado a la un cuarto y eso elevado a la tercera potencia pero esto a cuánto es igual bueno pues 16 elevado a la un cuarto es 2 y 2 elevado a la 3 es 8 así es que tenemos cinco cuartos por un octavo y todo eso es igual a 5 entre 4 por 8 32 y esta es la respuesta h prima en 16 son 5 32avos