Ejemplo resuelto: derivadas de sin(x) y cos(x)

en este vídeo queremos encontrar la derivada de esta gtx de al principio parece intimidante tiene por aquí el seno de x por acá al coseno de x y por acá esta expresión loquísima de pi entre la raíz cúbica de x todo esto elevado al cuadrado así que efectivamente tal vez parezca un poco intimidante al principio pero como veremos en este vídeo podemos encontrar la derivada con las herramientas que ya tenemos utilizaremos las propiedades de las derivadas que conocemos la regla de la potencia que nos dice que la derivada con respecto a x de x elevado a la potencia n es igual a n que multiplica a x elevado a la potencia n 1 ya la hemos visto en muchas ocasiones también usaremos el conocimiento de que la derivada con respecto a x del coseno dx es igual - de equis y al revés la derivada con respecto a x del seno de x es igual al coseno de x con esto ya podemos derivar esta expresión es decir encontrar que prima de x así que pausa el vídeo e intenta resolverlo por tu cuenta ya que sabemos cuál es la derivada del seno de x y del coseno de x probablemente la parte más intimidante es la expresión que tenemos acá pero podemos reescribir la o simplificar la un poco de tal forma que nos resulte más familiar así que hagámoslo en este lado tenemos a pin entre la raíz cúbica de x todo esto al cuadrado y esto es lo mismo que pi al cuadrado entre la raíz cúbica de x también al cuadrado solamente estamos aplicando las propiedades de los exponentes así que esto es lo mismo que tomar x a la un tercio y elevarlo al cuadrado así que esto será lo mismo que bueno y cuadrada no quiero saltarme pasos porque este es un repaso de las propiedades de los exponentes entre x elevado a la un tercio y esto elevado al cuadrado lo que es igual a pico / x elevado a la dos tercios lo que es igual a cuadrada por x elevada a la menos dos tercios así que escrita de esta forma ahora si podemos pensar hoy en ahora si tenemos una idea de cómo podemos aplicar aquí la regla de la potencia así que toda esta expresión complicada es simplemente pi cuadrada por equis elevada a la menos dos tercios es más déjeme borrar todo esto para tener espacio entonces podemos reescribir esto como pi cuadrada por equis elevada a la menos dos tercios así que ahora tomemos la derivada de cada uno de los pedazos de esta expresión queremos encontrar que prima tx entonces que prima es igual a utilicemos el operador derivada de ambos lados vamos a aplicar el operador derivada al lado izquierdo y también vamos a aplicárselo a esto a esto y también a esto entonces esta derivada es lo mismo que 7 por la derivada del seno de x lo que es igual a 7 por el coseno de x esta otra derivada es menos porque estamos restando y sacamos la constante que está multiplicando la expresión entonces nos queda menos 3 por la derivada del coseno de x que es menos seno de x finalmente en esta parte en amarillo apliquemos la regla de la potencia y no olvidemos este signo negativo vamos a escribirlo después multiplicaremos el exponente menos dos tercios por el coeficiente tal vez pueda parecer confusa de nuevo la idea de pi cuadrada pero es sólo un número entonces esto será menos que multiplica a menos dos tercios por pi cuadrada por equis elevado a la menos dos tercios menos uno y esto a que será igual bueno nos quedará que prima de x es igual a 7 veces el coseno de x después tenemos menos 3 por el menos seno de x eso es lo mismo que más tres veces el seno de x después tenemos menos por menos lo que nos dará positivo entonces pondremos más y nos queda 2 y cuadrada entre 3 esa es esta parte de aquí por x elevado a la bueno menos dos tercios menos uno podemos pensarlo como menos un entero y dos tercios o como menos cinco tercios x elevado a la menos 5 tercios y listo hemos acabado fuimos capaces de abordar esta expresión que se veía un poco peliaguda pero logramos obtener su derivada utilizando la regla de la potencia y lo que ya sabemos de las derivadas del seno y cosenos de x