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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)
Curso: Cálculo, todo el contenido (edición 2017) > Unidad 2
Lección 7: Usar la definición formal de la derivada- La derivada de x² en x=3 por medio de la definición formal
- La derivada de x² en cualquier punto por medio de la definición formal
- Expresiones de límite para la derivada de una función lineal
- Expresión de límite para la derivada de cos(x) en un punto mínimo
- Expresión de límite para la derivada de una función (gráficamente)
- Rectas tangentes y razones de cambio
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Rectas tangentes y razones de cambio
Cómo es que las rectas tangentes son un límite de rectas secantes, y dónde es que la derivada y la razón de cambio encajan en todo esto.
Introducción
La posición de un coche que va por la calle, el valor de una moneda ajustado por la inflación, el número de bacterias en un cultivo y el voltaje de CA de una señal eléctrica son ejemplos de cantidades que cambian con el tiempo. En esta sección, estudiaremos la razón de cambio de una cantidad y cómo está relacionada geométricamente con las rectas secante y tangente.
Rectas secante y tangente
Si dos puntos distintos y están sobre la curva , la pendiente de la recta secante que conecta los dos puntos es
Si dejamos que el punto tienda a , entonces tenderá a a lo largo de la gráfica de . La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos y tenderá gradualmente a la pendiente de la reca tangente en a medida que tiendea a . En el límite, la ecuación anterior se convierte en
Si hacemos , entonces y a medida que . Podemos volver a escribir el límite como
Cuando el límite existe, su valor es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .
Ejemplo 1
Encuentra la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto .
Solución
Como , al usar la fórmula de la pendiente de la recta tangente
obtenemos:
Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es . Recuerda de álgebra que la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta tangente es
La fórmula punto-pendiente nos da la ecuación
que podemos volver a escribir como
Encontrar la pendiente en cualquier punto
Ahora estamos interesados en encontrar una fórmula para la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la gráfica de . Tal fórmula debería ser la misma que la que estamos usando excepto que reemplazamos la constante por la variable . Esto da
Denotamos esta fórmula por
donde se lee " prima de ". El siguiente ejemplo ilustra su utilidad.
Ejemplo 2
Si , encuentra y usa el resultado para encontrar las pendientes de las rectas tangentes en y .
Solución
Como
entonces
Para encontrar la pendiente, sustituimos y en el resultado de . Obtenemos:
y
Por lo tanto, las pendientes de las rectas tangentes en y son y , respectivamente.
Ejemplo 3
Encuentra la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .
Solución
Al usar la fórmula de la pendiente de una recta tangente
y sustituir nos da
Sustituir da
Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en para la gráfica de es . Para encontrar la ecuación de la recta tangente, usamos la fórmula punto-pendiente:
donde . La ecuación de la recta tangente es
Rapidez promedio
El concepto principal del cálculo diferencial es calcular la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra. Por ejemplo, la rapidez se define como la razón de cambio de la distancia recorrida con respecto al tiempo. Si un automóvil viaja millas en horas, su rapidez es
Esta rapidez se llama "rapidez promedio", o "razón de cambio promedio de la distancia con respecto al tiempo". Por supuesto, un automóvil que viaja millas a una razón promedio de millas por hora durante horas no necesariamente lo hace a rapidez constante. Puede aumentar o disminuir su velocidad durante estas horas.
Sin embargo, si el automóvil choca contra un árbol, no será la rapidez promedio lo que determine el daño resultante de la colisión, sino su rapidez en ese instante. Así, tenemos dos tipos diferentes de rapideces, la rapidez promedio y la rapidez instantánea.
La rapidez promedio de un objeto está definida como el desplazamiento del objeto, , dividido entre el intervalo de tempo, , durante el cual ocurre el desplazamiento:
La rapidez promedio también es la expresión para la pendiente de una recta secante que conecta los dos puntos. La Figura 1 muestra la que pasa por los puntos y en la .
Así que concluimos que la rapidez promedio de un objeto entre el tiempo y se representa geométricamente por la pendiente de la recta secante que conecta los dos puntos y . Si escogemos cerca de , entonces la rapidez promedio se aproximará mucho a la rapidez instantánea en el tiempo .
Razones de cambio
La razón de cambio promedio de una función arbitraria en un intervalo se representa geométricamente por la pendiente de la recta secante a la gráfica de . La razón de cambio instantáneo de en un punto en particular se representa por la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en ese punto. Vamos a considerar cada caso con mayor detalle.
Razón de cambio promedio
La razón de cambio promedio de la función en el intervalo es
La Figura 2 muestra la a través de los puntos y en la . La pendiente de la recta secante es la razón de cambio promedio .
Razón de cambio instantáneo
La razón de cambio instantáneo de la función en el punto es
La Figura 3 muestra la en el punto en la . La pendiente de la recta tangente es la razón de cambio instantáneo .
Ejemplo 4
Supón que .
(a) Encuentra la razón de cambio promedio de con respecto a en el intervalo .
(b) Encuentra la razón de cambio instantáneo de con respecto a en el punto .
Solución
(a) Aplicar la fórmula para la razón de cambio promedio con , y da
Esto significa que la razón de cambio promedio en el intervalo es un aumento de 2 unidades en por cada aumento de una unidad en .
(b) En el Ejemplo 2 de arriba encontramos que , de modo que
Esto significa que la razón de cambio instantáneo es negativa. Eso es, está decreciendo en . Está decreciendo a una razón de unidades en por cada unidad que decrece en .
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