Expresiones de límite para la derivada de una función lineal

sea gtx igual a menos 4 x + 7 ok entonces esta va a ser nuestra función y nos preguntan cuál es el valor del límite cuando x tiende a menos 1 deje de x menos g evaluada en menos 1 todo eso dividido entre x + 1 así que vamos a ver primero cuál es el dibujo de esta función g voy a graficar primero los ejes que va a ser un mejor esfuerzo en eso ahí está el primero de los ejes tengo oops tengo ahora el eje vertical un poco chueco pero no pasa nada entonces este va a ser el eje x este va a ser el eje ye y me piden calcular el valor de este límite sin embargo la gráfica de la función voy a voy a pintarla aquí es esencialmente una línea cuya ordenada al origen es 7 es decir intersecta el eje y en 7 y tiene pendiente de menos 4 entonces es bastante pronunciada bastante pronunciada y digamos que la línea cae la línea acá muy bien entonces vamos a terminar algunos detallitos por ejemplo sabemos que por ser una línea la pendiente justamente es menos 4 verdad justo esta de la forma de igual a mx + b donde m es la pendiente entonces la pendiente la pendiente es igual a menos 4 esta es la gráfica es decir esto es igual a gd x muy bien que es una línea y ahora voy a pintar los puntos que me interesan de hecho por aquí va a andar el menos uno y pues a menos uno le corresponde este punto de acá arriba éste tiene coordenadas menos 1,7 menos 1 ok y si ahora me tomo un punto arbitrario digamos que por aquí ande nuestro punto x este punto de aquí tiene coordenadas x coma gx ok entonces este cociente que me están pidiendo aquí no es otra cosa más que la pendiente verdad qué la pendiente entre estos dos puntos porque si tengo gtx menos g de menos 1 estamos pensando en esto de aquí gx menos g de menos 1 entonces va más o menos así en este sentido para abajo i también tenemos que de x de menos 1 y abajo tenemos x1 que no es otra cosa más que x menos -1 entonces estamos pensando en esta distancia muy bien entonces si yo quiero calcular la pendiente entre estos dos puntos simplemente tengo que calcular gx verdad está menos menos la g evaluada en menos uno que sería esta y todo eso dividirlo entre x - y en este caso sería menos uno muy bien entonces esta es la pendiente y que si nos damos cuenta bueno en realidad esto lo puedo quitar y es menos menos nos da más y entonces aquí en realidad lo puedo dejar como un más y esto es exactamente esta expresión que tenemos aquí entonces está pendiente de entrada ya sabemos que es que es menos 4 porque entre cualquier par de puntos dentro de una línea la pendiente siempre la misma entonces la respuesta va a ser vamos a ponerlo con otro color oops quite esto este era un más entonces la pendiente en realidad es constante y es menos 4 verdad esto es igual a menos 4 y como esto es constante pues no importa que le metamos el límite verdad límite cuando x se aproxima se aproxima a menos 1 ahora bien esto podríamos hacerlo de forma algebraica ya sabemos que en realidad la pendiente no depende de la x la pendiente es constante pero vamos a hacerlo algebraica mente vamos a calcular el límite cuando x tiende a menos uno de gdx que en este caso será menos 4 x + 7 y vamos a restar g evaluado en menos 1 entonces sustituimos aquí menos 1 sustituimos menos 1 y tenemos menos 1 x menos 4 son 4 y luego sumamos 7 entonces vamos a restar 11 muy bien y ahora dividimos entre x más 1 muy bien dividimos entre x + 1 y ahora notamos que 7 menos 11 s -4 muy bien así que este límite simplemente se convierte en calcular el límite cuando x tiende a menos uno de menos 4 x menos 4 muy bien entonces tengo menos 4 que multiplica a x + 1 y luego dividido entre x más 1 y si x no es menos 1 y no lo es porque nos estamos aproximando como x no es menos 1 esto este cociente está bien definido y puedo cancelar así que esto es menos 4 y entonces esto ya lo hicimos algebraica mente pero en realidad estábamos hablando de una línea así que la pendiente entre cualquier punto sobre la línea y es bueno de hecho la pendiente entre cualesquiera dos puntos siempre es la misma en este 4 en este caso es menos 4 pero nos fijamos en este punto particular que era el menos 1,11