Expresión de límite para la derivada de cos(x) en un punto mínimo

sea gdx igual al coseno de x nos preguntan bueno vamos a notar primero esto en realidad tenemos que considerar que las funciones coseno de x ahora cuál es el valor de este límite el límite cuando h tiende a 0 deje en ti más h - gm sobre h entonces para eso primero vamos a graficar la función muy bien ahí ya lo hice por ustedes hace hace rato ok para que sea más rápido y esta función es digamos el coseno de x en el primer periodo es decir entre 0 y 2 muy bien esta es la forma tradicional del coseno y vamos a ver qué es lo que nos están pidiendo esencialmente primero nos piden g de pi que nos fijemos en g de pi aquí no nos paramos en pi y vemos que la función justo se encuentra en su mínimo verdad que es cuando vale menos 1 entonces este punto de aquí es el pi coma bien ahí tienen ustedes este punto y ahora tenemos que fijarnos tenemos que fijarnos en el punto g de pi más h entonces si por ejemplo aquí anda más h entonces nos fijamos en este punto de aquí este de aquí tiene coordenadas y más h coma que de pi más h bien ahí estamos y ahora lo que nos están pidiendo esencialmente es calcular la pendiente que conecta desde la línea que conecta estos dos puntos vamos a ver porque tenemos que depp y más h en realidad vamos a calcular esta pendiente entonces tenemos que calcular el cambio en la componente vertical es decir tenemos que calcular que depp y más h muy bien y restamos y restamos gd pi pi y luego todo esto lo dividimos entre pi más h y más h menos que lo de abajo es el cambio en x verdad entonces el primero lo primero que tenemos es esta altura verdad esta altura es gd pimas h - g de pi y este cambio esta base digamos es más h - pi verdad muy bien entonces si nos damos cuenta bueno esto lo podemos simplificar porque los pies se cancelan y nos queda simplemente g depp y más h - g de pi pi sobre sobre h entonces si nos damos cuenta está pendiente calcular la pendiente entre estos dos puntos es justamente lo que nos piden calcular sin aplicarle el límite muy bien entonces ahora bueno esencialmente si lo queremos ver aquí lo que nos están pidiendo es la pendiente de esta línea secante ahora nos piden calcular el límite cuando h tiende a cero es decir qué pasa si este numerito de aquí lo vamos haciendo cada vez más cercano a ti muy bien entonces los puntos se van a ir acercando a este mínimo verdad a este a este valle que tenemos acá habrá si si fuera que nos tomáramos la h negativa pues nos vamos aproximando de esta de esta misma forma ok entonces lo que nos piden aquí es calcular la pendiente ya ya aplicando el límite lo que tenemos que calcular es la pendiente de la recta tangente pero en x igual a pi entonces esto de aquí no es otra cosa más que la pendiente pendiente de la recta tangente de la recta tangente tangente y hay que decir en qué punto y en este caso estamos pensando que es este punto de aquí es decir en verdad x igual a pi muy bien entonces si nos fijamos en el vídeo por supuesto no vamos perdón o en el vídeo el vídeo es lo que estamos haciendo sino en la imagen por supuesto hay formas de calcular esto formalmente pero si nos fijamos aquí tenemos un valle entonces en este punto la recta tangente es horizontal y sabemos que la pendiente de las rectas horizontales es justamente cero así que esto de aquí es cero ok hay muchas formas de hacerlo hay formas algebraicas de calcularlo no lo haremos en este caso pero también lo que podemos hacer es utilizar una calculadora podemos usar una calculadora para ir aproximando el valor del coseno depp y más h y más h - el coseno de ti entre h / h por ejemplo qué tal si calculamos aquí ya había hecho unos ejercicios qué tal si calculamos primero pimas h pi más digamos 0.1 ya esto le calculamos el coseno muy bien entonces esto es menos 0.99 5 quien sabe que y le restamos el coseno de pi pero el coche no de pi es menos 1 y si se le restamos el sumarle uno 1 y ahora lo dividimos entre nuestra h que fue 0.1 y vemos que esto es 0 puntos 0 49 digamos el 0.05 verdad entonces esto es muy pequeño ahora para que se vea más claro vamos a utilizar una h mucho más pequeña digamos ahora vamos a calcular pi más 0.0001 ok le calculamos el cose no y ahora sumamos 1 que es restar coseno de pi 1 y nos da 4.9 ok bueno pues por este exponente por este por este exponente digamos y hay que dividirlo ahora entre h que nuestra h era 0.0001 muy bien y eso nos da a 4.9 digamos esto es 5 por 10 a la menos 5 que esto se ve que ya es muy pequeño entonces aquí vemos claramente y con numeritos como este valor se va aproximando cada vez más a 0