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Transcripción del video

me han llegado muchas peticiones para explicar o enseñar lo que es el teorema del valor medio así que hagámoslo en este vídeo así que este será el teorema crema del valor medio y tengo muchos pensamientos encontrados respecto a este tema porque parece muy fácil pero te darás cuenta de que no es obvio probarlo pero la idea es bastante sencilla y la razón por la que tengo pensamientos encontrados es porque espero que lo veas pero la intuición la intuición de de este teorema es muy obvia pero se apegan tanto a los libros de de cálculo que que realmente no no te dicen para qué o cómo se intuye y sólo y esto sólo confunde a la gente así que con un poco de suerte este video aclarará todas esas ideas y estoy ansioso de ver qué piensas que es realmente fácil así que qué dice este teorema déjenme hacer unos dibujos hagamos una explicación visual primero que creo que utilizar el magenta para éstas y que si éste es el eje x y digamos que este es el eje ye ok y digamos que tengo una función fx aja pintarla déjenme dibujar fx no sé de algunas formas cualquiera que yo pinto es buena y digamos si ésta es mi jefe de x voy a ponerle ciertas condiciones por ejemplo primero tiene que ser continua y también tiene que ser derivable o diferenciable también se le puede decir y sé que muchos de ustedes probablemente se asusten desde cuando escuchen estas palabras zona como lo que diría un matemático y eso suena bastante abstracto continuo significa que esta curva está conectada que realmente la podemos recorrer de un trazo y aquí las condiciones tenemos que hacerlas por supuesto sobre un intervalo cerrado que este es otro término matemático que que suele por ejemplo decimos que un intervalo cerrado es digamos digamos esto todo esto es un intervalo digamos aquí está no sabemos cuáles pueden ser menos 5 quien sabe no y es de digamos por aquí es b vamos a poner b justo aquí digamos que será entonces cuando hablamos de un intervalo cerrado de o que una función está definida en un intervalo cerrado significa que la función debe estar definida en cada punto entre a y b y que además la función debe estar definida tanto en una como en b y se refiere un intervalo abierto a veces significa que debe estar definida en todos los puntos entre a y b pero no necesariamente en a y b así que vamos a pedirle que sea definida en en un intervalo cerrado a como b y sus rotaciones está con corchetes es decir repito esto es que tiene que estar definida en todos los x desde aa a b incluyendo a y b y si hubiese descrito un intervalo abierto escribiríamos de esta forma que significa todos los números entre a y b pero sin incluir los extremos así que por ahora ignoramos esto volviendo al tema del valor medio espero lo que significa continuo dibujaré lo que vamos a pensar a lo mejor en una función discontinua no por ejemplo está ok este es un ejemplo de una función digamos sí y dejen de poner los ejes en con otro color ese no es ese esa línea estuvo muy mal llegamos a este nuestro eje ye y este es nuestro eje x entonces esta función es continuo hasta este punto ops pero de repente hay este salto esta desconexión digamos eso hace que la función sea discontinua o que no sea continuo así que la función en este caso tiene que ser continua y derivable que significa houthis diferenciable también se le dice significa que la podemos calcular su derivada en cualquier punto ok entonces la función es diferenciable y que más significa bien significa que si representas esta gráfica de esta función también la puede hacer de forma continua y en efecto en este vídeo les enseñaré que una función que no les daré un ejemplo de una función que es continua pero no es derivable y por ello no podemos aplicar el teorema del valor de todas formas la mayoría de las funciones con las que trabajamos cumplen con las tres condiciones a menos de que esté resolviendo límites que hace que éstos se venga abajo en alguna de esas hipótesis en fin vamos a suponer que esta función cumple todo esto y lo que nos dice es que si tomamos la pendiente media entre el punto a y b pero a ver primero qué es la pendiente no la pendiente media entre el punto a y b en realidad es la distancia en vertical que recorre la función entre todos lo que avanzamos en el eje x verdad y vamos si éste es la distancia horizontal a pensar que éste la distancia y es la distancia vertical y este punto de acá arriba digamos es el a coma efe cda por otro lado este punto de aquí será el bebé coma efe db muy bien así que cuál es la pendiente media entre a y b pues simplemente será la distancia recorrida en vertical entre la distancia recorrida en horizontal verdad entonces cuánto hemos subido cuanto cuánta distancia recorrimos entre fbi fbi dea pues simplemente es la altura verdad la altura que hemos recorrido y entonces tenemos efe db - efe cda que es la la altura recorrida habló recorrido en la lista en la posición vertical entre ve - a que es lo recorrido en la dirección horizontal verdad entonces digamos si trazamos una línea que pase por estos dos puntos dejen de hacerlo en azul en hacerlo en azul que tenemos esta línea así que la pendiente entre estos dos puntos es la pendiente media y que es lo que nos dice el problema del valor medio dice que siempre de x está definida en un intervalo cerrado vea ave que sí es continuo y que además diferenciable entonces podemos encontrar un punto c donde la derivada es decir efe prima de s a lo escribo sé dónde efe prima de ese es igual a esta cosa a la del ala al la pendiente media entonces no debería haberlo escrito aquí pero bueno que nos está diciendo lo que nos está diciendo es que si encontramos una función continua de diferenciable definida en un intervalo cerrado existe un pse al que además se tiene que estar entre a y b baja en entre los dos puntos pero el punto es que existe ese donde la pendiente o la derivada es idéntica a la pendiente de esta línea que conecta a los dos puntos iniciales perdón al punto inicial y al punto final verdad entonces digamos vamos a encontrar un punto donde se le parezca está pendiente que ya hemos calculado por supuesto vamos a verlo de forma geométrica verdad digamos quizás en este punto aquí donde lo he dibujado poco exacto entonces digamos que la pendiente es más o menos así así aunque no sabemos cómo es esta función al hiti camente visualmente podemos ver que en este punto c digamos la derivada en este punto c digamos etc la derivada y pues se parece a la que la pendiente media no entonces digamos que en realidad esta recta son paralelas así que efe prima de se va a ser igual a la pendiente media sobre el total verdad y esta curva probablemente tenga otro punto donde la pendiente sea igual a la pendiente media íbamos puede parecerme por ejemplo este punto de aquí que dibuja donó a lo mejor puede parecerse digamos verlo de esta forma recuerden que las líneas en realidad deberían ser paralelas ley y espero que todo esto tenga sentido para ti otra forma de pensar es digamos déjenme dibujar una nueva gráfica para asegurarme que estamos acertando en en la idea entonces vamos a dibujar en mi posición como una función del tiempo que esto es algo bastante útil en él mundo real así que digamos si éstos son mis ejes x y y y ye ok entonces esto nos regrese a la idea original de lo que es una derivada verdad digamos si esto está en tiempo y arriba es la posición no importa digamos entonces si me estuviese moviendo a una velocidad constante mi posición como función del tiempo sería una línea recta verdad de hecho la velocidad en realidad es la pendiente pero supongamos que tengo una variación en la velocidad y en realidad por ejemplo si estás conduciendo un auto pues lo vas haciendo no vas cambiando de velocidad así que digamos que al tiempo 0 empiezo en en cero después aceleró digamos que desaceleró un poco digamos ido desacelerando desacelerando y después llegó una parada así que aquí me quedo luego aceleró a través desaceleró aceleró etcétera ok así que esto podría ser digamos en una variable velocidad y esto podría ser mi posición en función del tiempo así que todo esto es tienen digamos esto es el tiempo 0 y la posición será entonces digamos esto aquí es después de una hora y digamos que recorrido 60 millas digamos aquí 60 millas gay y que podemos decir que podemos decir que mi velocidad media velocidad media es la distancia dividida entre el tiempo recorrido que en este caso son 60 millas por hora ok así que lo que dice el tema del valor medio es que la velocidad media así que puedes verla como la pendiente media entre este punto y este otro punto el sitio velocidad media de 60 millas por hora habría cierto punto en alguien en el tiempo quizás haya más donde estaba yendo a exactamente 60 millas por hora ahora todo tiene sentido es verdad si tu media son 60 millas va a haber algún otro punto en donde justo tendrías una velocidad instantánea desde para mí así que déjame ver si para dibujarlo gráficamente digamos si ésta es la pendiente de la velocidad media digamos aquí digamos que también iba a 60 millas por hora en este punto y de hecho hasta tengo otro no por ejemplo este ok ahora antes de irme vamos a hacer esto analíticamente digamos para hacerlo con números vamos a la razón por la que no me gusta y si me gusta el tema del valor medio es que después es útil si te vuelves un experto matemático y seguramente lo usarás para demostrar teoremas o incluso de demostrarse el mismo problema pero en cursos normales de cálculo que no son tan avanzados no lo vas a utilizar mucho así que bueno bueno es interesante en ese aspecto aprendes algo del mundo pero bueno supongamos que tenemos la función fx iguala x cuadrada menos 4 x así está bien y digamos que está definido en un intervalo cerrado de 2 a 4 muy bien y entonces el teorema del valor medio dice que si esta función está definida en este intervalo podemos poner cualquier número digamos el dominio son en realidad de intervalo cerrados en este caso verdad pero bueno por lo como se define en este intervalo en realidad esta función es continua derivable existe todas las derivadas en fin el tema del valor medio se aplica aquí vamos a ver para qué valor de ese es igual a la pendiente media entre dos y cuatro entonces cuál es la pendiente media entre 2 y 4 bueno pues va a ser ese de 4 f 4 - efe de dos evaluadores entre evaluado en dos y dividido entre 4 - 2 muy bien entonces jefe de 416 menos 4 por 4 0 y luego efe de 12 62 al cuadrado 4 - 2 x 4 es ocho veces menos que dijimos menos -2 al cuadrado es 4 menos 4 por 28 a está muy bien ahora dividimos todo esto sobre dos y entonces qué nos queda esto es 4 sobre 2 que es la pendiente media por lo tanto es 2 esto es igual a 2 muy bien ahora el significado del teorema del valor medio nos cuenta que debe haber un punto entre estos dos entre 2 y 4 donde la pendiente en este punto es exactamente igual a 2 bien vamos a averiguar qué punto ese estilo entonces hacemos la derivada a la deriva df para dar a efe prima de x igual a 2 x menos cuatro que queremos averiguar para qué valor de x esto es igual a 2 entonces decimos que 2x -4 es igual a 2 de dónde x es igual de bueno tenemos que 2x es igual a cuatro más dos que seis y entonces x es igual a tres muy bien entonces si x es igual a tres la derivada es exactamente igual a la pendiente media ahora voy a ver si puedo hacerlo con una calculadora gráfica aquí vamos a ver si la puedo poner en él en la pantalla ok entonces aquí tenemos la gráfica de x cuadrada menos 4 x vamos a ver más grande y entonces el intervalo que nos importa es de 2 a 4 entonces la pendiente media sobre este intervalo era 21 si hubiéramos dibujado aquí la pendiente más o menos parecería esta recta y entonces en el punto 3 la pendiente también es exactamente 2 voy a ver si puedo dibujar la no es muy difícil dibujar por uno mismo verdad es que es en realidad una parábola vamos a ver entonces si éste es el eje de las 'íes' éste esté vamos a pintar lo vamos a estar y este es el eje el eje de las x entonces la gráfica pasa por el punto 0-0 verdad vamos vamos a hacer hoy no están o no están bien hecho ver gráficamente se parece a esto no se achata por aquí muy bien y lo hace así entonces en realidad se sigue hacia arriba esto es una parábola es el punto 4 el punto 2 está aquí y en dos vale menos cuatro verdad digo a lo mejor está mal para las escalas pero bueno buscamos la pendiente media en el intervalo cerrado 2,4 lo que nos importa es en este intervalo ok este es el intervalo de dos a cuatro la pendiente media es 2 vamos digo no lo parece porque comprimido un poco el eje de verdad entonces en el punto equis igual a 3 que es más o menos aquí la pendiente vale lo mismo vale lo mismo ese a esa a la pendiente media verdad que son a lo mejor un poco complicado hablar de continuidad de deriva habilidad y todo eso por lo que dice es que hay algún punto entre estos dos del intervalo donde la pendiente instantánea o la derivada en ese punto es igual a la pendiente media entre estos dos puntos espero haberte hecho un lío