Interpretar el comportamiento de funciones de acumulación

sea gx igual a la integral definida de 0 a x df de tdt cual es la justificación con base en el cálculo teniendo en cuenta que es cóncava hacia arriba en el intervalo abierto de 5 a 10 antes de ver a qué nos referimos con cóncava hacia arriba vamos a asegurarnos de comprender la relación deje de x una forma de comprender esta relación es obteniendo la derivada en ambos lados de la igualdad nos queda que g prima de x es igual a fx la razón por la que tenemos esto es para mostrar la variable t esto es una función de x x es el límite superior de la integral definida usamos la variable t porque sería raro el tener una integral con respecto a x cuyo intervalo superior también fuera x esto podría confundirnos es por eso que ponemos otra variable puede ser t puede ser zeta puede ser alfa puede ser cualquier variable que queramos pero esto sigue siendo una función de x al calcular la derivada en ambos lados de la igualdad vemos que la función f que se muestra en esta gráfica ejes x por lo que esta es fx si el eje fuera tendríamos ft esta es la gráfica de f que también podemos ver como la gráfica de g prima si tenemos el eje x esta será g prima de x nos interesa el intervalo abierto de 5 a 10 aquí tenemos la gráfica de la derivada g prima y queremos encontrar una justificación con base en el cálculo usando esta gráfica que nos permita saber si se es cóncava hacia arriba que significa que sea cóncava hacia arriba significa que la pendiente de la recta tangente se incrementa y otra forma de pensar en esto es que si la derivada se está incrementando en el intervalo la función es cóncava hacia arriba en ese intervalo aquí tenemos la gráfica de la derivada y vemos que se incrementa en este intervalo por lo que nuestra justificación con base en el cálculo es que f que es g prima en este intervalo se incrementa la derivada se incrementa en ese intervalo y por lo tanto las funciones cóncava hacia arriba en ese intervalo la segunda opción dice f es positiva en el intervalo abierto de 5 a 10 esta no es una justificación suficiente ya que si la derivada es positiva significa que nuestra función original se está incrementando pero no nos dice que la función original es cóncava hacia arriba la tercera opción dice efe es cóncava hacia arriba en el intervalo abierto de 5 a 10 el que la derivada sea cóncava hacia arriba no significa que la función original también sea cóncava hacia arriba de hecho podemos tener una situación como ésta en donde la derivada es cóncava hacia arriba en ese intervalo en gran parte de ese intervalo esta es la función f prima la función está disminuyendo durante gran parte de ese intervalo de hecho en esta parte nuestra función será cóncava hacia abajo la última opción dice la gráfica de g tiene forma de un en el intervalo abierto de 5 a 10 si tuviéramos la gráfica de g esta sería una justificación válida pero no sería una justificación con base en el cálculo resolvamos otro problema tenemos la misma configuración seage x igual a la integral definida de 0 a x de f dt cuál es la justificación con base en el cálculo tomando en cuenta que g tiene un mínimo relativo en x igual a 8 nuevamente la gráfica efe de aquí es igual a la derivada de g y si tenemos la gráfica de la derivada como podemos saber si hay un mínimo relativo en la función original alrededor de x igual a 8 el hecho de que la derivada cruza por este punto cuando x es igual a 8 quiere decir que la pendiente de la recta tangente de g punto es igual a 0 pero eso no quiere decir que tengamos un punto mínimo relativo aquí para poder tener un punto mínimo relativo nuestra derivada tiene que pasar de ser negativa a positiva porque nos sirve esto piensen que si nuestra derivada pasa de ser positiva a negativa significa que la función original pasa de disminuir a incrementarse y si hace esto tendremos un mínimo relativo en este punto veamos cuál opción describe esto la primera opción no es suficiente para indicar que tenemos un mínimo relativo la tercera opción dice efe es negativa antes de x igual a 8 y positiva después de x igual a 8 esto describe exactamente lo que analizamos esta opción es correcta veamos las otras opciones la segunda opción dice efe es cóncava hacia arriba alrededor de x igual a 6 el que x sea igual a 6 no tiene que ver con que x sea igual a 8 descartamos esta opción la última opción dice existe un intervalo en la gráfica de g alrededor de x igual a 8 donde g de 8 es el valor pequeño esta sería una justificación para tener un mínimo relativo pero no es basada en el cálculo por eso la descartamos hagamos otro problema tenemos la misma configuración aunque diferentes efe que en la gráfica sea gx igual a la integral definida de 0 a x de ft dt cuál es la justificación con base en el cálculo tomando en cuenta que g es positiva en el intervalo cerrado de 7 a 12 señalamos el intervalo que nos interesa aquí vamos a analizar con más detalle qué significa tener esta integral de 0 a x si pensamos en lo que sucede cuando x es igual a 7 que es lo mismo que decir que g de 7 es igual a la integral definida de 0 a 7 df de tdt imaginemos que este eje este esta variable t sólo nos sirve para no confundirnos con la variable x del límite superior pero realmente nos referimos a esta área de aquí y ya que de 0 a 7 la función está por arriba del eje tendremos un área positiva si vemos el intervalo de 7 a 12 no agregamos nada al área anterior pero tampoco quitamos nada a dicha área así que de x igual a 7 a x igual a 12 la integral conservará el mismo valor positivo no le agregamos valor así que ge de 12 es igual a g de 7 pues no agregamos ni quitamos nada a esta área veamos cuáles son las opciones que coinciden la primera opción para cualquier valor de x en el intervalo cerrado de 7 a 12 el valor de fx es 0 vemos en la gráfica que esto es verdadero pero no significa que sea positivo antes de este punto nuestra función podría hacer algo así por lo que tendríamos un área negativa hasta este punto y estos también serían valores negativos descartamos esta opción la segunda opción dice para cualquier valor de x en el intervalo cerrado de 7 a 12 el valor de g de x es positivo esto es verdadero y me gusta esta opción veamos las otras opciones la tercera opción dice efe es positiva en el intervalo cerrado de 0 a 7 y no negativa en el intervalo cerrado de 7 a 12 también me gusta esta opción y voy a descartar la opción anterior porque no se refiere a la derivada por lo que no es una justificación con base en el cálculo esta tercera opción describe justo el razonamiento que hicimos efe es positiva de 0 a 7 por lo que tenemos un área positiva y no es negativa en el resto del intervalo por lo que se mantendrá positiva en todo este intervalo elegimos esta opción la cuarta opción dice efe no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo en el intervalo cerrado de 7 a 12 esto no nos ayuda con la afirmación de que g es positiva en el intervalo cerrado de 7 a 12 descartamos esta opción y con esto terminamos