El teorema fundamental del cálculo e integrales definidas.

supongamos que tenemos la función efe y que esta función es continua en el intervalo de ahorita no le voy a poner a y b porque esos los quiero utilizar más adelante pero bueno a partir de esta función efe minúscula dt vamos a construir la función f mayúscula de x igual a la integral a la integral que va de c a x df minúscula de t dt muy bien estas acá es un área verdad esto lo estamos definiendo para las x es en el intervalo se coma d así que si nos tomamos una x por acá esta función lo que nos indica es el área que está por debajo de la curva que está por debajo de la curva y en 13 y x entonces esto sería f mayúscula de x lo que platicamos en vídeos pasados es que si efe minúscula es continua entonces esta f mayúscula es derivable en todo el intervalo se coma b y además tenemos que f prima de x es igual a efe de x vaya que esto sucede para todas las x es en el intervalo se coma de muy bien esto simplemente es el teorema fundamental del cálculo lo que quiero hacer en este vídeo es conectar el primer teorema fundamental del cálculo con el segundo teorema fundamental igual del cálculo bueno la segunda parte como quieras llamarle esto es lo que utilizamos para evaluar las integrales definidas va entonces para pensar en esto vamos a tomar f mayúscula debe menos f mayúscula de a efe mayúscula para ciertos números ahí ve que quedan en este intervalo en el intervalo se coma d además vamos a pensar que b es más grande que a por comodidad sale entonces al cambiar estas f mayúsculas por lo que le corresponde en la integral obtenemos la integral la integral de s ab nada más sustituimos de c a b de ft dt - la dfa pero que se está vamos primero con esta pues esta es nos vamos aquí a donde estaba digamos que está por aquí ahí tomamos la recta vertical y lo que estamos considerando es el área por debajo de la curva entonces estamos considerando esta parte de la casa le déjame marcarla en este color azul ok entonces esta integral corresponde a esta área ya eso tenemos que restarle tenemos que restarle f mayúscula de a osea la integral de c aa de ft dt y si nos vamos a la figura dijimos que a es más pequeño digamos que está por acá y entonces el área que estamos restando es esta muy bien entonces qué sucede si el área azul que es la de b le restamos el área rosa mexicano que es la dea pues obtenemos esta área que queda en medio verdad esta que voy a pintar con color verde un color verde y que está representada por la integral de a a b de ft dt muy bien esto de aquí está muy bueno verdad esto es el segundo teorema fundamental del cálculo lo que nos dice lo siguiente lo que nos dice es que si f es continua si f es continua entonces esta expresión esta expresión esta integral definida la podemos evaluar tomando la anti derivada f mayúscula quizás debería ser un poco más claro verdad sea mira esta igualdad nos está diciendo que f mayúscula es la anti derivada anti derivada de f de ok entonces lo que nos dice el segundo teorema fundamental del cálculo es que esta expresión que encerré en el recuadro esta integral definida la podemos evaluar considerando a efe mayúscula una anti derivada de f y evaluando en el extremo superior y a eso restándole el extremo inferior va a efe en el extremo inferior justo eso es lo que nos dice el segundo teorema fundamental del cálculo y eso es lo que utilizamos para hacer las integrales definidas verdad quizás aquí quedó al revés es más déjame reescribirlo para que quede en la forma en la que usualmente lo utilizamos entonces nos quedaría que la integral de a a b de ft de t para una función continua efe consiste en tomar una derivada f mayúscula evaluarla en el extremo superior y a eso restarle esa anti derivada evaluada en el extremo inferior ok este es el segundo teorema fundamental del cálculo y este teorema es importantísimo en las clases de cálculo porque justo a partir de esto es como evaluamos todas nuestras integrales definidas