El matiz del rotacional en dos dimensiones

ya hemos hablado del rotacional donde si tenemos un campo vectorial b y que tiene digamos componentes p y q verdad entonces sabemos cómo calcular el rotacional en dos dimensiones verdad y espero que ahora esto sea más que solo una fórmula para ti y que realmente comprendas cómo es que esto representa la rotación de un fluido verdad en dos dimensiones lo que ahora quiero hacer aquí es mostrar cómo la intuición original de la fórmula verdad que hemos obtenido puede estar sobre simplificada porque por ejemplo si nos fijamos en este término de aquí que es la derivada parcial de q con respecto de x nosotros dijimos bueno quizás puede ser que tengamos un punto en donde el rotacional digamos es cero a su izquierda va para abajo y digamos que a la derecha va para arriba entonces estamos pensando que al movernos en la dirección x al aumentar en la dirección x cuba pasa del ser negativo 0 y luego positivo es decir crece y por lo tanto esta derivada parcial es positiva verdad y más o menos nos da la idea de cómo es que está girando digamos como como en una especie de remolino pero esta es sólo una situación muy particular verdad que es muy específica en donde la derivada parcial de q con respecto de x es positiva verdad también podríamos tener una situación en donde tengamos un campo vectorial que al aumentar en la dirección x también aumente la componente q verdad digamos que vaya siendo positivo pero cada vez más positivo esta es otra situación y para ilustrar lo que esto significa si nos fijamos en este campo vectorial en el centro tenemos algo como en el ejemplo clásico verdad en donde hay un remolino y que gira en el sentido contrario de las manecillas del reloj y si dejamos fluir veremos que en efecto rota en ese sentido en contraste con lo que ocurre en esta otra región aquí no parece que haya rotación sino que las partículas se apresuran a pasar por ahí verdad pero de hecho el rotacional resulta ser igual y eso lo veremos más adelante verdad será igual de fuerte que en el centro pero la imagen que hay que tener en mente son estas dos paletas verdad y que si presionamos en medio para que al dejarlo rotar digamos con el flujo notaremos que los vectores a la izquierda empujan un poco hacia arriba pero no tan fuerte como lo empujan a la derecha así si imaginamos digamos esta situación cuando corre el fluido también rotary a la rueda como en el caso del remolino y en términos de la fórmula verdad ambas situaciones nos darían esta situación que la derivada parcial de q con respecto de x sea positiva verdad tanto esta situación como esta otra nos dan que esta derivada es positiva que es lo que empezábamos a buscar en el rotacional en dos dimensiones y por cierto algo que quizás vale la pena mencionar en este momento es que el rotacional es un concepto que que no se inventó al tratar de entender los flujos los matemáticos y los físicos en realidad digamos acuñaron este término y fue importante no en ese digamos en términos de flujos sino en otras circunstancias de hecho creo que creo que fue más bien en el electromagnetismo y fue posterior la digamos la interpretación que dieron en términos de flujos ahora bien si regresamos al ejemplo y vemos digamos su fórmula verdad entonces vamos vamos a borrar esto de aquí para hacernos espacio hagámonos en un espacio entonces regresemos al ejemplo particular que hemos dibujado anteriormente ese campo vectorial que hemos dibujado es muy simple simplemente la componente p es menos y la componente q es x muy bien entonces con esto nosotros podemos calcular fácilmente el rotacional en dos dimensiones la derivada de q con respecto de x es uno y luego restamos la derivada de p con respecto de ye que es menos uno entonces uno menos menos uno simplemente nos da dos y digamos esto es un número constante en realidad esto nos dice que no no depende del punto en donde nos encontremos será exactamente el mismo rotacional y esto es muy pero muy muy raro pero lo que nos dice este número constante es que al fijarnos digamos en el flujo del rotacional nos dice que la rotación que ocurre en el centro es igual de fuerte que digamos la rotación que ocurre a la derecha o en cualquier otro lugar si corremos la animación y pensamos en las paletas en el centro éstas giran tan rápido digamos como en el centro como en el lado derecho y al menos eso a mí me parece anti intuitivo pero creo que creo que es importante entender de que otras formas se puede ver el rotacional en dos dimensiones y que otras digamos figuras representa esta fórmula bueno nos vemos