La fórmula del rotacional en tres dimensiones (parte 2)

estábamos construyendo la fórmula del rotacional en tres dimensiones y donde nos quedamos fue con este determinante de 3 por 3 que en realidad parece absurdo de calcular verdad porque casi nada de lo que tenemos aquí parecen números pero pero siguiendo la idea de lo que es el determinante llegaremos a una función vectorial que corresponde al rotacional en tres dimensiones así que vamos a hacernos un pequeño espacio por acá para seguir con las cuentas y vamos a calcular digamos este determinante verdad entonces como calculamos el determinante es considerar esta primera entrada y luego la multiplicamos por el determinante de esta sub matriz que resulta de quitar la columna y la fila correspondiente a esta entrada verdad entonces lo que tendríamos serían los siguientes sería el vector y que multiplica al determinante de esta verdad pero sería la derivada parcial con respecto de y de nuestra función r menos la derivada parcial de zeta común de nuestra función verdad de nuestra función q y eso corresponde a nuestro primer término y ahora vamos a seguir con el segundo término correspondiente a j yx recuerden que cuando calculamos el determinante pensamos como una alternancia de signos verdad tendríamos más menos más y entonces tendríamos menos nuestro vector jota verdad y multiplicamos por la matriz que por el determinante de la matriz más bien que resulta de quitar la fila y la columna de jota verdad entonces en realidad tendríamos estas esta sub matriz generada por estos cuatro elementos digamos y entonces el determinante sería la parcial con respecto de x de r r - la parcial de z la parcial con respecto de z de nuestra función p muy bien entonces esto sería el segundo término y el tercer término sería tomando ahora nuestro vector que multiplicando por el determinante de esta sub matriz verdad entonces tendríamos acá que multiplica a la derivada parcial con respecto de x de nuestra función q verdad de nuestra función q menos la derivada parcial de con respecto de y la derivada parcial con respecto de y de nuestra función p bien y entonces esto que hemos obtenido aquí es justamente la fórmula del rotacional en tres dimensiones para este campo vectorial b que teníamos inicialmente con tres entradas que llamamos pq y r y en realidad aquí digamos lo tenemos con la anotación con vectores y jk verdad que son vectores unitarios pero si queremos escribirlo en términos y un vector columna entonces lo escribiríamos más o menos algo así tendríamos que el rotacional de nuestro vector b en nuestro campo vectorial b evaluada en el punto x 10 eta sería en realidad este vector con tres componentes verdad y la primera componente sería la que corresponde al vector i es decir tendríamos la parcial con respecto de jbr menos la parcial con respecto de z de nuestra función q y por supuesto todo esto está evaluado en x y z y pues no voy a terminar esto simplemente sería poner esta entrada y esta es otra entrada aquí verdad sólo teniendo cuidado con este signo entonces en realidad cualquiera de las dos anotaciones es correcta yo prefiero utilizar la anotación del vector columna quizás a otras personas les guste más utilizar y j y que en realidad no importa siempre y cuando sepas ir de una a la otra ahora bien algo que quisiera notar de esta fórmula que hemos obtenido es esta última parte que tenemos aquí si observamos muy bien esto es justamente la fórmula del rotacional en dos dimensiones verdad esto es digamos pensando en un campo vectorial que se encuentra en el plano xy esta es la fórmula del rotacional en dos dimensiones y vemos que va en la dirección del vector cada verdad que es que es el que apunta en la dirección vertical o en la dirección del eje z verdad y eso ya lo habíamos visto en un vídeo anterior y si observamos en estos otros términos de aquí obtenemos cosas similares verdad entonces si pensamos por ejemplo en la rotación en el plano xy digamos es justamente lo que tenemos aquí verdad y eso se da con un vector que va en la dirección de este vector acá y si esto te parece quizás algo raro te recomiendo que vayas al vídeo que habla de este tema verdad de la rotación de campos vectoriales en dos dimensiones cuando los metemos en tres dimensiones los otros dos términos son digamos términos similares verdad aquí estaríamos pensando en la rotación en el plano x z que nos arroja digamos un vector en la dirección de j que de hecho es perpendicular al plano x z y para este término ocurre algo similar esta es la rotación en el plano z y nos arroja un vector en la dirección de iu que es perpendicular justamente al plano que se está verdad y cuando lo calculamos sólo obtenemos digamos una fórmula que en realidad no es que pensemos siempre digamos en en las distintas rotaciones en cada plano verdad pero siempre es bueno reconocer cuál es la intuición detrás que hay cuando hablamos de rotaciones en dos dimensiones y otra cosa que quiero enfatizar es que en realidad esto no es una fórmula para memorizar se digo al menos yo no lo haría si fuera ustedes yo lo único que haría sería recordar que el rotacional en realidad está simplemente descrito con esta verdad con el producto cruz del operador nabla y el campo vectorial de allí digamos sean las componentes que tengas en realidad no importa puedes seguir todo este proceso que quizás es algo largo pero al menos no tienes que memorizar esta fórmula tan larga verdad y en el próximo vídeo haré un ejemplo con funciones particulares digamos pq r y haremos todo este proceso para el ejemplo concreto que vamos a ver nos vemos