La fórmula de la curvatura (parte 1)

en el vídeo anterior hablé sobre curvatura y el radio en la curvatura y la descripción que hice fue puramente geométrica te dije que imaginar así en tu coche por algún camino y tu volante llega al límite de lo que puede girar entonces se detiene y entonces al pasar eso tú empiezas a formar un círculo con el coche y te preguntas cuál es el radio del círculo que formaste ahora para simbolizar la curvatura usamos el símbolo especial capa minúscula que es igual a 1 sobre radio y esto es así porque tú quieres una capa que simboliza una curvatura grande que corresponda a un giro brusco un giro brusco es simbolizado con un radio pequeño pero una curvatura grande ahora como describimos esto en una manera más matemática bueno vamos a ver esto y para describir una curva si haces una descripción paramétrica entonces tendrás una función s que toma un parámetro t y te da las coordenadas x si cada una como función de t entonces tienes x dt y quiérete ahora en este caso la curva que yo dibujé s paramétrica de la siguiente manera en la componente de la función x tenemos de menos seno de t y en la componente de la función ya tenemos uno menos coseno de t esa es la curva que yo dibujé así se parametrizar y esto quiere decir que para cada valor te obtienes un vector que cae sobre la curva y mientras éste va variando también cambia el vector que obtienes ajá pero pero la punta del rector va trazando la curva como un todo el vector va dibujando la curva mientras te va variando y la matemática que hay detrás de la curvatura es que tomando al vector unitario tangente en cada uno de los puntos sobre la curva tu puedes imaginar tan rápido estos vectores unitarios tangentes van cambiando de dirección entonces podemos llamar a este primer vector unitario tangente de 1 a éste de 2 y a este de 3 entonces todos los vectores unitarios tangentes piden longitud de 1 por eso son unitarios todos los países tienen longitud igual a 1 la guía de la curvatura es ver qué tan rápido el vector unitario tangente cambia de dirección entonces tú puedes imaginar que en lugar de que cada vector esté sobre la curva podemos poner a cada sector unitario tangente a la curva anclado pero a un mismo punto así entonces aquí en otro espacio este sería t1 y t2 está apuntando un poco más hacia abajo t3 está apuntando un poco más hacia abajo que t 2 entonces este es de 1 este es de 2 este es de 3 y observa que son los mismos sectores que están sobre la curva pero estos vectores están anclados a un mismo punto tienen su origen en un mismo punto y eso nos facilita ver cómo va dándose el cambio en la dirección de estos vectores queremos ver qué tanto cambias de dirección mientras pasas de t1 t2 habrá un cambio grande en el ángulo y lo mismo para t2 t3 el cambio será grande en el ángulo entre estos dos vectores es una curva que se ve algo así entonces el vector unitario tangente en ese punto cambia rápidamente en una distancia corta formando casi un ángulo de 90 grados mientras que si tú tomas el vector unitario aquí cuánto cambio si vas de este punto a este puedes ver que no cambia mucho entonces en la curvatura tomamos la razón de cambio de ese vector unitario tangente aquí t t mayúscula denota una función que nos dice sobre qué vector unitario tangente estamos trabajando y vamos a tomar la razón de cambio no en términos del parámetro t qué fue lo que usamos para parametrizar la curva porque en realidad no importa como paramétricas la curva por ejemplo tú puedes ir por una por una curva manejando y puedes ir muy rápido muy lento pero la curvatura sigue siendo la misma en lugar de eso vamos a tomar la razón de cambio con respecto a la longitud de arco uso la letra s para denotar la longitud de arco y la longitud de arco significa esto que si yo tomo un pedazo de esta curva así la distancia de ese pedazo de la curva en el eje x es la longitud de arco y si tomamos esa distancia y la consideramos muy pequeña entonces tenemos un cambio pequeño en la longitud de arco que denotamos por de ese entonces es lo que nos importa cuál es la razón de cambio de ese vector unitario tangente con respecto a un pequeño cambio en la longitud de arco entonces digamos que vas a avanzando aquí una distancia de supongamos 0.5 y quieres saber si este efecto unitario cambio mucho poco en dirección pero este pequeño cambio en el vector te dice qué distancia hay entre la punta de estos dos vectores lo cual hace de esto qué es lo que nos importa es el tamaño de esto que es una cantidad de vector valuada nos indicará cuánto se curva la curva cuánta curvatura y en la curva si tenemos una curva más cerrada y avanza a la misma distancia pero ves que el cambio entre los vectores es un cambio considerable un cambio de dirección grande eso nos dice que hay una curvatura grande en el próximo vídeo hablaremos sobre esta función que opera sobre el vector tangente y vamos a tomar la derivada de esto con respecto a la longitud de arco y bueno para facilitarlo mas debes tener en mente al círculo que pasa muy pegado a la curva en cada punto porque bueno ahí es donde se entenderá tomar la magnitud de la razón de cambio del vector unitario tangente con respecto a la longitud de arco