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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2
Lección 8: Derivar funciones con valores vectoriales (artículos)La regla de la cadena multivariable: versión simple
La regla de la cadena para derivadas puede extenderse a dimensiones más altas. Aquí estudiamos cómo se ve en el caso relativamente simple en el que la composición es una función con una variable.
Qué vamos a construir
- Dada una función multivariable
, y dos funciones de una sola variable y , la regla de la cadena para funciones multivariables dice:
- En notación vectorial
, la fórmula anterior tiene una expresión muy elegante usando el gradiente de y la derivada del vector .
Una regla de la cadena más general
Como probablemente puedes imaginar, la regla de la cadena multivariable generaliza la regla de la cadena para funciones de una sola variable. La regla de la cadena de una sola variable te dice cómo calcular la derivada de una composición de dos funciones:
¿Qué pasa si en lugar de que la función tenga un valor de entrada en una dimensión, tuviera un valor de entrada en dos dimensiones, ?
Bueno, en ese caso, no tendría sentido componerla con una función escalar . En cambio, supongamos que hay dos funciones escalares y , y las introducimos como coordenadas de . La composición total será una función de una variable, con un solo número de entrada y un solo número de salida , como se muestra en este diagrama:
Hay una regla de la cadena que te permite calcular la derivada de esta nueva función de una sola variable, e involucra a las derivadas parciales de :
Ten en mente que una expresión como es una abreviación de
Es decir, ambas son funciones de , pero se evalúa a través de las funciones intermedias y .
Ahora con notación vectorial
En lugar de pensar en y como funciones separadas, es común pensarlas como un paquete en una sola función vectorial:
En vez de escribir la composición como , la podemos escribir como .
Escrita así, la analogía con las derivadas de una sola variable es más clara.
El gradiente juega el papel de la derivada de , y el vector derivada juega el papel de la derivada ordinaria de .
Intuición detrás de la validez de la regla de la cadena
Como calentamiento, considera la regla de la cadena para una función de una sola variable. Así es como entendemos esa composición:
- En primer lugar,
mapea un punto en la recta numérica a otro punto de la recta numérica. - Luego
mapea el punto a otro punto en la recta numérica
Para entender la derivada de tienes que entender cómo es que un pequeño cambio en cambia el valor final de salida.
Así que vamos a sumergirnos en lo que realmente está diciendo la regla de la cadena.
- El término
representa cómo un pequeño cambio en influye en el valor intermedio de salida, .
- El término
representa cómo un pequeño cambio en influye en el valor final de salida, .
- El cambio total en
debido a un cambio pequeño en es entonces el producto de ambas influencias.
Extender esta intuición a más dimensiones
La idea intuitiva para la regla de la cadena multivariable es similar. Puedes pensar que mapea un punto de la recta numérica a un punto en el plano , y mapea ese punto de regreso hasta algún punto en la recta numérica. La pregunta es ¿cómo un pequeño cambio en el valor de entrada cambia el valor total de salida ?
Vamos a entender a fondo la regla de la cadena para funciones multivariables en términos de las funciones componentes y :
- El término
representa cómo un pequeño cambio en influye en la salida intermedia .
- Del mismo modo, el término
representa cómo un pequeño cambio en influye en la segunda salida intermedia .
- El término
representa cómo el cambio en la componente de una entrada de influye en su salida; de manera similar, el término representa cómo un pequeño cambio en la componente de la entrada cambia .
- Una manera en la que un pequeño cambio en
influye en es que primero cambia , que a su vez cambia . Este efecto lo captura el producto .
- Otra manera en que un cambio en
cambia el valor de salida de es primero cambiando el segundo valor de salida intermedio , que a su vez afecta la salida de . El producto refleja este efecto. - Al sumar estos dos productos obtenemos el cambio total en
.
Conexión con la derivada direccional
Es probable que te hayas dado cuenta que la expresión en forma de producto punto de la regla de la cadena multivariable se parece mucho a la derivada direccional:
De hecho ¡eso es exactamente lo que es! La derivada en un valor particular es un vector en el espacio de entradas de :
Si interpretamos como una curva parametrizada dentro de este espacio, tal vez pensándola como la trayectoria de una partícula, la derivada en un punto particular en el tiempo nos da el vector velocidad de la partícula en ese momento.
Con esta interpretación, la regla de la cadena nos dice que la derivada de la composición es la derivada direccional de en dirección de la derivada de .
Esto deber tener sentido, pues un cambio pequeño de por " " debe, dado el significado de la derivada, provocar un cambio pequeño a la salida de . Y el punto de la derivada direccional es que un cambio pequeño en la entrada de provoca un cambio determinado por .
Ejemplo 1: con y sin la nueva regla de la cadena
Define así:
Luego define así:
Encuentra la derivada .
Solución sin la regla de la cadena:
Antes de utilizar nuestra nueva y elegante herramienta, vale la pena señalar que podemos resolver este problema escribiendo la composición como una función de una sola variable :
Ahora puedes sacar la derivada ordinaria:
Pero por supuesto, el propósito de este ejemplo es ganar una idea de cómo se siente la regla de la cadena.
Solución usando la regla de la cadena:
Primero, indiquemos explícitamente las componentes vectoriales de la función :
De acuerdo a la regla de la cadena,
Tomando las derivadas parciales de y las derivadas ordinarias de , , obtenemos
Queremos todo en términos de , por lo que sustituimos y .
Es tranquilizante que la respuesta sea igual que la que obtuvimos sin usar la regla de la cadena. Puedes pensar que esta nueva regla de la cadena complica las cosas de manera innecesaria, y el pequeño secreto sucio es que a menudo no se necesita para cálculos concretos como este.
Sin embargo, es útil para escribir ecuaciones en términos de una función desconocida, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2: función desconocida
Supón que la temperatura en una región bidimensional varía de acuerdo con una función desconocida , y que vas por esta región midiendo la temperatura conforme caminas; las coordenadas y como funciones del tiempo son
Al medir las temperaturas, te das cuenta que nunca cambian sobre tu trayectoria. ¿Qué puedes decir de las derivadas parciales de ?
Resumen
- Dada una función multivariable
, y dos funciones de una sola variable y , la regla de la cadena para funciones multivariables dice:
- En notación vectorial
, la fórmula anterior tiene una expresión muy elegante usando el gradiente de y la derivada del vector .
¿Quieres unirte a la conversación?
- No entiendo, por qué dicen que el producto del gradiente por el vector tangente es una derivada direccional? Si el vector tangente no es un necesariamente un versor. Las derivadas direccionales son con versores no con cualquier vector.(2 votos)
- No todos los autores exigen que el vector en cuestión tenga módulo uno (si a eso te refieres con "versor"), véase por ejemplo el "Análisis Matemático" de T.M. Apostol(2 votos)
- Completa la tabla para la regla dada.
Regla: y=\dfrac{1}{3}xy=
3
1
x(1 voto) - Completa la tabla para la regla dada.
Regla: y=\dfrac{x}{2}y=
2
x
(1 voto)