Idea intuitiva del rotacional en tres dimensiones (parte 1)

hola a todos ahora vamos a hablar del rotacional en tres dimensiones y para hacerlo vamos a partir del ejemplo en dos dimensiones que usamos cuando estamos desarrollando la intuición y sabemos que el flujo que anima vamos aquí de este campo vectorial tiene una rotación antihorario verdad del lado derecho y horaria arriba verdad así que vamos a tomar este campo vectorial que espero que ya tenga cierta intuición de él y vamos a incrustarlo en el espacio de tres dimensiones en el plano el quillá así que aquí tenemos una copia del plano x y esta es una muestra que parece distinta pero esencialmente representa al mismo campo vectorial y de hecho es bueno escribir cómo se definen dos dimensiones que entonces este campo vectorial en realidad es una función que depende de xy de y en verdad es un campo vectorial ve que depende de xy belle y tiene dos componentes la primera componente la podemos calcular como de kubica menos 9 y y la siguiente componente es x cúbica menos 9 x así que si nos fijamos en esto digamos empezamos a pensar en la rotación del fluido o del flujo asociado con el entonces esto se ve en tres dimensiones verdad y es natural tratar de describir esta rotación no solo con un número en cada punto como ya sabemos sino pensar también en un vector para cada punto que nos dé la rotación así que cuando hacemos esto vamos a tratar de asociar un vector en cada punto distinto del espacio verdad y que nos indique la rotación del fluido y obtenemos algo como esto y ahora parece más complicado porque tenemos dos campos vectoriales uno en el plano xy y otro perpendicular así que vamos a tratar de desmenuzar el problema tenemos cuatro regiones circuladas aquí verdad aquí tenemos una rotación que va en sentido antihorario verdad y esto lo podríamos pensar utilizando la regla de la mano derecha aquí está la la imagen entonces pensamos en que doblamos nuestros dedos en la dirección de la rotación y cuando levantamos el pulgar entonces esa sería la dirección de los vectores que describen la rotación así que si hacemos esto aquí podríamos pensar que doblamos nuestros dedos verdad como sigue la rotación y entonces levantamos nuestro pulgar y obtenemos un vector que apunte en la dirección positiva de z verdad así que por eso es que tenemos en esta región vectores que apuntan hacia arriba ok entonces qué ocurre por ejemplo en otro punto digamos qué pasaría si estamos por ejemplo aquí arriba verdad entonces si nosotros tratamos de girar nuestros dedos siguiendo la rotación entonces nuestro punto pulgar apunta hacia abajo verdad en la dirección negativa de z y es lo que vemos en este campo vectorial aquí verdad porque debajo de este círculo tenemos vectores que apuntan justamente hacia abajo en toda esa región verdad entonces si hacemos esto en cada punto verdad al menos podríamos tener más o menos una idea de cómo es la rotación en cada punto del espacio y asignarle un vector verdad así que vamos a tratar de continuar y describir digamos con una función lo que es el rotacional verdad porque sabemos cómo calcular el rotacional en dos dimensiones porque si le ponemos nombre a nuestras dos funciones componentes digamos pq verdad entonces el rotacional en dos dimensiones de este campo vectorial vamos a ponerlo el rotacional en dos dimensiones del campo vectorial ve por supuesto como función de xy de y entonces esto es igual a la derivada parcial de nuestra segunda componente que en este caso es q verdad con respecto a x la parcial de q respecto de x ya éste le tenemos que restar la derivada parcial de la primera componente respecto de verdad es la parcial de t con respecto de g así que aquí tenemos el rotacional en dos dimensiones vamos a tratar de derivar derivamos esta primera respecto de x que es una derivada tradicional verdad entonces tendríamos 3x cuadrada menos 9 esa es la derivada la primera derivada verdad menos la derivada de p con respecto de ya que es exactamente igual verdad vamos a tener menos la derivada de aquí arriba que es 3 y cuadrada verdad 3 d cuadrada menos y entonces estos dos se cancelan aquí tenemos que estos dos nueves se cancelan entonces simplemente nos queda 3x cuadrada 3x cuadrada menos 3 y cuadrada bueno y esto qué significa aquí tenemos una cantidad de escalar asociada al campo verdad y tenemos todos estos vectores azules que nos indican la dirección de la rotación y estos en realidad son vectores ahora bien la rotación está ocurriendo únicamente en el plano xy que es perpendicular al eje z y todos estos vectores sólo van a tener una componente 7 es decir la tercera verdad así que podríamos pensar que el rotacional digamos el rotacional ya no es en dos dimensiones simplemente es el rotacional de nuestro campo vectorial ve cómo funciona a través de xy de y ahora no va a ser un valor escalar verdad ahora va a ser un vector pero va a ser un vector que describe a estos que tenemos de color azul y que solo tiene un componente z verdad las primeras tres las primeras dos componentes son cero así que en la última simplemente será 3x cuadrada 3 cuadrada y esto es digamos lo que podríamos pensar como un prototipo del rotacional en tres dimensiones porque en realidad de este campo vectorial ve pues no es muy tridimensional que digamos verdad solo vive en el plano xy sólo toma entradas x y ya así que lo que vamos a hacer es tratar de extender esta idea vamos a tratar de ver cómo se ve esto en tres dimensiones y cómo podríamos tratar de entender la rotación de un campo vectorial en tres dimensiones y eso es lo que haremos en el próximo vídeo