Las derivadas direccionales y la pendiente

hola a todos de lo que quiero hablar en este vídeo es cómo interpretar la derivada direccional en términos de gráficas verdad aquí tengo la gráfica de una función de una función multi variable y esta función de hecho es de x tienen dos entradas verdad y ésta se calcula como x cuadrada por y muy bien y en los últimos vídeos hemos hablado de cómo es que se puede calcular la derivada direccional verdad como podríamos definirla formalmente de hecho podríamos calcularla utilizando el gradiente verdad y generalmente lo que tenemos es digamos alguna especie de vector vamos a poner aquí un vector b un vector b y este vector b digamos que es el menos 11 vamos a poner el 1-1 mejor vamos a poner el vector 11 muy bien tenemos ese vector en el espacio de entradas así que en este caso por supuesto sería el plano xy y en este caso simplemente vamos a tomar este vector muy bien y la derivada direccional que denotamos utilizando digamos también como el símbolo de gradiente pero le ponemos un subíndice con este vector de verdad para indicar que es en esa dirección la derivada direccional de nuestra función efe en el punto x de verdad así es como la denotamos y este es digamos una medida de cómo cambia la función cuando nos movemos en el espacio de entradas en esta dirección del vector b así que te voy a mostrar qué es lo que significa podríamos imaginar que cortamos esta gráfica con alguna especie de plano que no necesariamente tiene que ser paralelo a alguno de los ejes x oye verdad que fue lo que hicimos cuando tomábamos derivadas parciales tomábamos planos que estaban representados por valores constantes de x o valores constantes de y en este caso va a ser un plano que de alguna forma nos dice digamos el movimiento en la dirección del vector que tenemos y como lo hemos hecho en otras ocasiones vamos a acortar nuestra gráfica a lo largo de este plano y para hacer claro esto vamos a colorear digamos la la parte en donde la gráfica intersec a digamos a nuestro plano verdad y este vector de aquí este pequeño vector de podríamos pensar lo que vive en el plano xy y está determinando la dirección de este plano con el que estamos cortando de verdad entonces en el plano x y tenemos este vector que es el 11 y digamos apunta digamos en esta dirección diagonal verdad y tomamos todo el plano cortamos nuestra gráfica ok entonces queremos interpretar la derivada direccional aquí y vamos a tratar de hacerlo en algún valor particular así que digamos que lo queremos hacer en el menos uno menos uno así que hagámoslo en ese punto en el menos uno menos uno y mejor pongamos menos 1 menos 1 muy bien hagámoslo en ese punto y digamos con esta combinación de este punto y este vector al menos nos aseguramos de que nuestro plan no pasa por el origen verdad así que estamos garantizando que este plano está en el origen o pasa por el origen y pero si no fuera así podríamos imaginar digamos otro plano digamos que a lo mejor tenga la misma dirección es decir sea paralelo a éste pero habría que recorrerlo en alguna dirección pero bueno con esto basta para este vídeo verdad y si hacemos esto podríamos interpretar la derivada direccional como una pendiente pero tenemos que ser muy cuidadosos porque si queremos interpretar esto como una pendiente entonces necesitamos tomar un vector b que sea unitario es decir que la la magnitud o la norma oa veces también se le llama módulo verdad la magnitud de nuestro vector tiene que ser 1 es decir es unitario y bueno en principio no podría tomarse vectores que no sean unitarios verdad pero tenemos que ser cuidar para poder interpretar esto como pendientes de que sí lo sean verdad en este caso nuestro vector b no es unitario el vector que tendríamos que tomar digamos que apunte en la misma dirección pero que tenga una magnitud unitaria verdad sería el vector raíz de 2 entre 2 raíz de 2 entre 2 y tú podrías deducir que es este vector simplemente digamos usando el teorema de pitágoras o algo de ese estilo verdad ahora sí estamos evaluando en este punto en el menos uno menos uno verdad podríamos dibujarlo en la gráfica verdad para ver dónde se encuentra y en este caso digamos vamos vamos a mover todo esto teníamos este punto verdad que si lo vemos desde arriba podemos ver que es el menos uno menos uno verdad y si queremos saber la pendiente en ese punto verdad estaríamos pensando en esta línea tangente qué estamos pintando es la línea tangente a la curva y estamos digamos preguntándonos qué pendiente tiene en ese punto otra anotación que podría ser digamos útil para entender la derivada direccional es por ejemplo esto que utilizan algunas personas que lo escriben como la parcial de f con respecto a nuestro vector de verdad y que en realidad podríamos pensar como si estamos tomando un pequeño cambio en la dirección del vector de verdad así que esto sería un pequeño empujoncito en la dirección del vector b y eso nos da un aumento digamos parcial en la dirección de b y cuando decimos bueno como cambio el valor de la función digamos que tenemos entonces podemos ver la altura de la gráfica verdad y ahí podemos ver ese cambio así que cuando nuestro cambio inicial se aproxima a 0 y por lo tanto nuestro resultado digamos nuestro cambio resultante en la función también se aproxima a 0 entonces lo que tenemos que hacer es calcular la proporción verdad la proporción del cambio de la función con respecto al y al cambio de nuestro movimiento en la dirección de verdad y eso nos va a dar la pendiente de esta línea tangente conceptualmente esto es digamos una muy buena anotación pero la razón por la cual utilizamos la otra anotación donde utilizamos digamos un habla con subíndice b verdad es muy indicativo de esta anotación es muy indicativa de cómo calculamos todo verdad entonces esta en realidad esto en realidad se calcula como el gradiente de nuestra función y hacemos el producto punto por el vector verdad así que vamos a hacer de hecho este este cálculo con todo lo que ya tenemos verdad vamos a calcularlo de este lado con otro color vamos a utilizar un color verde entonces calculemos el gradiente de nuestra función f el gradiente de nuestra función f es el vector que tiene las derivadas parciales aquí estaría la derivada parcial con respecto a x y la derivada parcial de nuestra función con respecto a muy bien entonces para calcular la derivada parcial con respecto a x entonces x será nuestra variable y que será una constante verdad al derivar esto con respecto de x tendremos 2 por x porque verdad y ahora si derivamos con respecto de ye yé sería nuestra variable y x cuadradas x cuadradas sería una constante entonces tendríamos x cuadrada pues la derivada de y simplemente es 1 ahora si nosotros evaluamos en nuestro punto de interés que es el menos uno menos uno verdad entonces tendremos dos x menos uno es menos 2 x menos 1 es 2 y finalmente tendremos x cuadrada que sería menos 1 al cuadrado que es 1 entonces aquí tenemos ya el valor del gradiente de la función f en el punto que nos interesa verdad así que esto significa que si queremos evaluar digamos el gradiente de f por b verdad entonces tendríamos que ir sustituyendo esto sería el gradiente de b el 21 y hacemos el producto punto con nuestro vector b que tiene que ser unitario verdad entonces sería raíz de 2 entre 2 y la otra coordenada sería raíz de 2 entre 2 entonces al hacer esta cuenta tendríamos que hacer el el producto de las coordenadas verdad sería 2 por raíz de 2 entre 2 eso sólo es raíz de 2 y 1 por raíz de 2 entre 2 sería raíz de 2 sobre 2 entonces aquí tenemos nuestra respuesta esta sería la pendiente de esta curva que hemos graficando verdad pero esto sólo funciona si nuestro vector es un vector unitario y ya hemos visto en el vídeo anterior digamos cuando hablamos de la definición formal de la derivada direccional verdad que si nosotros rescatamos este vector por 2 digamos vamos a quitar todo esto vamos a quitar todo esto aquí tenemos todo esto entonces si nosotros consideramos la derivada direccional pero ahora consideramos el doble de este vector b entonces digamos queremos calcular la derivada direccional de la función pero con el doble de b esto sería el gradiente de f con él y hacemos producto punto con dos veces nuestro vector de verdad entonces esto nos daría lo mismo digamos como en el producto punto podríamos sacar las constantes sería dos veces el gradiente de f por b por el gradiente de f por d era justamente la derivada dirección al original que teníamos así que al duplicar el vector vamos a tener el doble del valor de nuestra derivada direccional verdad así que va a ser el doble del valor de la derivada dirección al original verdad pero no necesariamente queremos esto porque si nosotros vemos este plano verdad con el que lo hemos cortado en vez de ir en la dirección de denver del vector unitario b si lo hacemos en la dirección de dos veces el vector es el mismo plano verdad estamos cortando exactamente con lo mismo y que quisiéramos que tuviéramos la misma pendiente así que todo esto se echaría a perder verdad esto es muy importante cuando estamos pensando en el contexto de las pendientes verdad otra cosa que podríamos decir es que nuestra fórmula para la pendiente de una gráfica en la dirección be digamos es igual a tomar la derivada direccional siempre y cuando tengamos el vector unitario verdad entonces para corregir esto simplemente podríamos tomar el mismo producto punto el gradiente df punto b pero tendríamos que asegurarnos de dividir entre la magnitud de nuestro vector b para que entonces no haya ningún problema al escalar nuestro vector verdad entonces es una forma de asegurarnos de que al tomar la derivada direccional en la dirección de cierto vector no importa el tamaño de ese vector verdad siempre será la misma y de hecho algunas personas así es como definen la derivada direccional verdad simplemente están normalizando la longitud de nuestro vector ya mí en realidad no me gusta mucho eso yo creo que estas personas están pensando justamente en el contexto de la pendiente están pensando en las tasas de cambio verdad al alser la pendiente de esta gráfica y una cosa que quisiera enfatizar verdad como siempre es que la intuición gráfica es muy buena y la intuición visual de hecho es excelente siempre podríamos tratar de encontrar una forma de como pensar las cosas visualmente pero con funciones multivariable es verdad la gráfica no es la única forma podríamos pensar en cosas un poquito más generales por ejemplo en pequeños empujoncitos en una dirección de un vector verdad y en este caso podría ser un contexto en donde donde el vector no necesariamente tiene una longitud uno verdad el empujoncito no siempre representa un tamaño real verdad pero digamos eso es una cuestión de escalar por una constante verdad a ese vector así que podríamos fijarnos en el vídeo de la definición formal para la derivada direccional si quieres más detalles en este tema pero lo que creo que es algo muy bueno es tener una muy buena intuición de lo que significa la de la derivada direccional