Las derivadas parciales de segundo orden

Considera una función con una entrada bidimensional, como

$f(x,y)=x^2{y}^3$‍.

Sus derivadas parciales ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$‍ y ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}$‍, toman la misma entrada bidimensional $(x,y)$‍:

Por lo tanto, también podríamos tomar las derivadas parciales de las derivadas parciales.

Estas se llaman derivadas parciales de segundo orden, y la notación que se usa para describirlas es análoga a la notación ${\displaystyle \frac{d^{2}f}{d{x}^2}}$‍ para la segunda derivada ordinaria de una función de una sola variable:

Si se usa la notación $f_x$‍ para la derivada parcial (con respecto a $x$‍ en este caso), las derivadas parciales de segundo orden también se pueden escribir así:

Las derivadas parciales de segundo orden que involucran variables distintas de entrada, tales como $f_{yx}$‍ y $f_{xy}$‍, se conocen como "derivadas parciales mixtas".

Problema: encuentra todas las derivadas parciales de segundo orden de $f(x,y)=\sin (x)y^2$‍

Solución: primero, encuentra ambas derivadas parciales:

Luego escribe ambas derivadas parciales para cada una:

En el ejemplo de arriba, observa que las dos derivadas parciales mixtas ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}$‍ y ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}$‍ son iguales. Esto no es una coincidencia: sucede para casi cualquier función que encontrarás en la práctica. Por ejemplo, observa lo que sucede con el término general de un polinomio, $x^n{y}^k$‍:

Técnicamente, la simetría de las derivadas de segundo orden no siempre es verdadera. Existe un teorema, que se conoce como el teorema de Schwarz o de Clairaut, que establece que la simetría de las derivadas de segundo orden en un punto dado se satisface siempre cuando las derivadas parciales sean continuas alrededor de ese punto. Para entender bien qué significa esto, necesitamos saber algo de análisis real.

Siempre debes tener en cuenta que las excepciones existen, pero la simetría de las derivadas de segundo orden funciona para casi cualquier función "normal" que te vas a encontrar.

¿Por qué detenernos en las derivadas parciales de segundo orden? Podríamos calcular, digamos, cinco derivadas parciales con respecto más variables de entrada.

Problema: si $f(x,y,z)=\sin (xy)e^{x+z}$‍, ¿qué es $f_{zyzyx}$‍?

Solución: la notación $f_{zyzyx}$‍ es una forma compacta de escribir $((((f_z{)}_y{)}_z{)}_y{)}_x$‍, por lo que diferenciamos con respecto a $z$‍, luego con respecto a $y$‍, luego con respecto a $z$‍, luego con respecto a $y$‍ y luego con respecto a $x$‍. Es decir, leemos de izquierda a derecha.

Vale la pena señalar que el orden es diferente en la otra notación:

Por lo que el orden de diferenciación está indicado por el orden de los términos en el denominador de derecha a izquierda.

Como sea, regresemos a nuestro problema. Esta es una de esas tareas en las que tienes que arremangarte y trabajar duro, pero para mantener las cosas simples, coloreemos las variables $x,y,z$‍ de forma que podamos mantener un registro de dónde se encuentran:

En el último paso usamos la regla del producto extendida,

¡Vaya! Eso que sí que fue un ejemplo tedioso. Pero si pudiste seguir todo el camino, calcular múltiples derivadas parciales no debería ser un problema para ti. Es una de esas cosas que simplemente requiere más contabilidad que cualquier otra cosa.