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Contenido principal
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Transcripción del video

digamos que tengo una función multivariable vamos a llamarle efe y esta función depende de dos entradas vamos a suponer dos entradas x y llegué y nos llevamos a inventarnos alguna digamos que esto es x cuadrada ye más el seno de ye el seno de iu entonces cómo podemos ver ésta es una función que toma valores escalares aunque tiene dos entradas verdad entonces la pregunta que vamos a hacernos en este vídeo es cómo podemos tomar la derivada de una expresión de este estilo y hay un método que es el método de las derivadas parciales y es muy parecido a digamos cuando tomamos derivadas tradicionales verdad así que veremos de hecho que son casi lo mismo así que vamos vamos a recordar un poco cómo es la anotación de las derivadas tradicionales tenemos digamos tomemos una función fx una función tradicional y digamos que ésta es x cuadrada muy bien entonces tenemos x cuadrada y la anotación que a mí más me gusta es esta que es la anotación de lay nets vamos a poner df en sobre dx y pensamos en un punto digamos en dos su verdad a mí me gusta mucho la anotación de laynce nix porque al menos sugiere que es lo que está ocurriendo verdad geométricamente entonces yo no gráfica digamos ponemos aquí un eje vamos a hacerlo derechito ponemos un eje y ponemos otro eje aquí esta x y aquí vamos a poner fx verdad entonces esto se ve más o menos como una parábola cierto entonces si nosotros nos paramos en x igualados digamos aquí está el 2 y pensamos en este punto verdad entonces la noción o lo que nos dicen la anotación de la y miches tomémonos un pequeño incremento en la variable x digamos piensen en un empujoncito de la variable x y esto sería nuestro dx y ahora pensamos cómo sería el cambio de nuestra función efe al movernos es digamos con este empujoncito de x así que todo esto será el cambio en verdad entonces esto sería el cambio en eje verdad entonces en realidad estamos pensando cómo cambia la salida de nuestra función al hacer un pequeño cambio en nuestra entrada muy bien entonces aquí por supuesto estamos en x igualados y en realidad aquí lo que estamos haciendo es pensar en el cociente verdad es decir estamos pensando en la pendiente verdad la pendiente y esto depende por supuesto del punto en donde estemos pero también podríamos pensar esta misma idea sin gráficas digamos consideremos aquí una recta aquí tenemos nuestro espacio de entradas x y pongamos aquí en nuestro espacio de salida efe si nosotros nos digamos colocamos en un punto aquí verdad y hacemos un ligero cambio en x un ligero cambio en x le está juzgando un empujoncito de nuestro punto inicial entonces la forma en la que interpretamos a nuestra función efe es que de alguna forma estamos mapeando esta recta a nuestro espacio de salidas verdad entonces uno podría preguntarse cómo afecta la salida al haber hecho un pequeño cambio en equipo así que si digamos que nuestro punto bajo la función que hay aquí entonces podríamos pensar que nuestro cambio en la función que vamos a notar como df pues a lo mejor fue muy grande verdad un pequeño cambio en x nos dio este cambio en efe y estoy mencionando todo esto porque en cálculo de varias variables hacemos exactamente lo mismo entonces nosotros podríamos pensar en digamos un cambio de nuestra función efe digamos al variar la variable x entonces pensemos cómo cambia nuestra función efe al variar x verdad y digamos pensémoslo en un punto particular en el punto 1,2 bien entonces vamos a ver la influencia del cambio en x en nuestra salida verdad entonces vamos a pensar nuevamente en cambios de x y ver cómo afecta en la salida de nuestra función entonces aquí pensamos otra vez en nuestro espacio de entradas hacemos en nuestro espacio de entradas que técnicamente es un plano verdad aquí esta x aquí estará ye verdad y nos colocamos en el punto 1,2 aquí está el 112 muy bien aquí está nuestro punto 1,2 y ahora si pensamos en un incremento pequeño dx podríamos pensar en este pequeño empujoncito en la dirección x verdad y vemos cómo afecta en nuestro espacio de salidas entonces a lo mejor aquí está nuestro espacio de salidas aquí estará efe y a lo mejor si ese punto cae a este otro de acá vemos que nuestro camino efe en esta digamos en ésta en este ejemplo lo mejor va en dirección contraria verdad aquí puede estar el cambio en el trabajo nuestro cambio efe pero podríamos hacer este mismo argumento al cambiar la variable y entonces podríamos pensar en cómo cambia nuestra función como se ve afectada al variar ligeramente llegue y lo podríamos pensar en el mismo punto verdad entonces en este caso estaríamos cambiando digamos estaremos moviéndonos un poquito en la dirección de ye aquí estaríamos haciendo un pequeño empujoncito en la dirección de yee y vemos cómo afecta a las salidas entonces quizás al mover ya podremos tener un efecto contrario podría ser que sea un cambio muy grande y del otro lado verdad hacia él hacia la otra dirección aquí podríamos tener cómo afecta a nuestra salida entonces todo esta es la idea digamos de las derivadas parciales pero aquí estamos haciendo un mal uso de la anotación en realidad tenemos que usar una nueva anotación para distinguir las funciones que tienen varias variables entonces en vez de utilizar esta de vamos a utilizar una de que es digamos como curveada vamos a quitar estas leyes que es una anotación sólo para las funciones de una variable cuando tenemos varias variables cuando tenemos varias variables usamos una de que es como curvita verdad entonces está de curveada se lee como parcial literalmente entonces sería aquí parcial df con respecto a la variable x o parcial de efe con respecto a la variable yes verdad y se le llama parcial pues no nos dice toda la historia de cómo está cambiando nuestra función efe en realidad sólo nos dice cómo cambia al movernos en cierta dirección ya sea en la dirección de x o en la dirección de yale verdad entonces aquí por ejemplo sólo nos dice cómo cambia la función en la dirección llegue así que en realidad cada una sólo nos da una pequeña parte de la historia de nuestra función así que ahora sí vamos a calcular estas derivadas así que vamos a darnos un espacio para acá aquí tenemos todo esto todo esto bien para poder calcular estas derivadas parciales así que vamos a calcular la derivada parcial de nuestra función con respecto a la variable x y digamos vamos a hacerlo en el punto 1,2 muy bien entonces recordemos sólo nos vamos a mover en la dirección de x así que si sólo nos movemos en la dirección de x en realidad vamos a considerar allí como una constante es decir en este caso llegue va a valer dos muy bien entonces esto lo podremos reescribir como la derivada parcial con respecto de x de la expresión que tenemos aquí pero aquí lleva a ser igual a 2 entonces tenemos x cuadrada por dos más el seno de dos dedos bien es la derivada parcial con respecto de x y esta expresión ya es ya sólo depende de x entonces podemos tomar una derivada tradicional verdad entonces aquí la deriva de x cuadrada sería 2 x x una constante sería 4x verdad pues esta constante dos más la derivada del seno de dos pero esto es una constante entonces esto simplemente vale cero y en todo esto tenemos que recordar siempre que vamos a evaluar en x igual a 1 verdad que es él el punto en donde estamos parados verdad aquí será tomando x igual a uno y si tomamos x igual a 1 esto simplemente nos da cuatro verdad vamos a ver qué ocurriría con nuestra derivada parcial con respecto de que llegue en la derivada parcial con respecto de ye en el punto 1,2 ahora consideraremos a la variable x como constante verdad no nos va a interesar en realidad sólo la vamos a tomar como uno así que esto será la derivada parcial con respecto de ye de la expresión que ya teníamos pero tomando x igual a una verdad entonces era uno al cuadrado al cuadrado que multiplica ye más el seno de yeah yeah yeah y todo esto lo vamos a evaluar en ye igual a 2 verdad vamos a poner un poquito más a la izquierda angy igualados entonces otra vez esto se vuelve una derivada tradicional verdad aquí tenemos que derivar ye que nos da uno por una cuadra jo es uno más la derivada del seno de ye que es co seno de yale y todo esto lo tenemos que evaluar gue igualados y si evaluamos tendremos uno más el coce no de dos bien uno más el coche no de los entonces esta es una derivada parcial digamos en un punto verdad en el punto 1,2 pero a nosotros nos gustaría una fórmula general que sea útil en cualquier punto verdad así que vamos a hacer algo muy similar pero en lugar de poner una constante sólo vamos a considerar a x 'guaje' constantes según sea el caso entonces vamos a borrar todo esto borrar todo esto y no vamos a pensar en el 1,2 vamos a pensar en un punto a punto arbitrario x com allí así que vamos a pensar en el punto equis coma llegué y vamos a pensar en el punto equis coma bien entonces recordemos en este caso vamos a considerar a la variable como una constante entonces vamos a derivar con respecto de x nuestra expresión x cuadrada y voy a poner con otro color aie para que quede claro que eso va a ser constante más más el seno de yeah se nos dé bien entonces sí yes constante verdad vamos a pretender que esto es constante entonces al derivar esté sumando tendremos la deriva de una constante por equis cuadrada será 12 x 12 x por nuestra constante más más la derivada con respecto de x del seno de ye pero como esto es una constante para fines de derivar con respecto de x entonces esto nos da cero verdad y entonces esta formalidad 12 guille es la fórmula general para la derivada parcial df con respecto a x en un punto arbitrario ekije por ejemplo si ponemos 1,2 tendríamos dos por uno por dos que es 4 que era lo que teníamos anteriormente vamos ahora con la derivada parcial con respecto de y entonces nuevamente vamos a considerar ahora a x como una constante verdad vamos a derivar esta misma expresión x cuadrada porsche más el seno de ye más el seno de yee y esto lo vamos a derivar con respecto a entonces en este caso x cuadrada es una constante verdad y sólo derivamos llegue y la derivada de yenes 1 y esto nos queda x cuadrada y derivamos cena de ye que es josé no de ley y entonces otra vez esta es nuestra fórmula general para la derivada parcial df con respecto ayer en un punto cualquiera verdad si ponemos 1,2 tendríamos uno más cocinó de los que era lo que teníamos han tenido anteriormente entonces en resumen todo esto es la idea de una derivada parcial simplemente vamos a pretender que una de las variables es constante y vamos a tomar derivadas ordinarias y sólo tenemos que recordar que esto es así pues sólo nos estamos moviendo en una dirección de la entrada y vemos cómo es que esto influye a la salida en el próximo video te mostraré lo que significa esto en términos los dependientes y gráficas pero siempre es bueno comprender que no sólo se pueden estudiar digamos las derivadas en términos de gráficas y pendientes y es que por ejemplo si hablamos de funciones vectoriales o con tres entradas ya no podemos ver la gráfica pero la idea de empujar poco y ver cómo cambia la función es más general y ayudará para continuar en el estudio del cálculo de varias variables