Transformaciones, parte 1

ya hemos hablado de las muchísimas formas que tenemos para visualizar funciones multi variables y recordemos que una función multi variable es porque ya sea que el espacio de entradas es de varias dimensiones o también puede ser la salida verdad y por ejemplo estas formas de visualizarlo incluyen a las gráficas en tres dimensiones que son bastante comunes las curvas de nivel los campos vectoriales funciones paramétricas pero de lo que quiero hablar en este vídeo es quizás de mis formas favoritas en la que en las que podemos pensar a las funciones y es pensarlas como transformaciones vamos a pensarlas como transformaciones así que siempre que tengamos digamos una función incluso si lo pensamos de forma muy abstracta digamos me gusta pensar que tenemos un espacio de entradas aquí tenemos nuestro espacio de entradas verdad y qué voy a hacer a representarlo con esta gelatina que tengo aquí y este espacio podría bien ser la recta real verdad no tiene por qué ser un como este puede ser todo el plano o incluso el espacio de tres dimensiones y también vamos a tener un espacio de salidas verdad son todas las salidas que podemos obtener con estas entradas verdad entonces cuando pensamos en una función en realidad estamos pensando en una forma de relacionar una entrada con una salida así por ejemplo si nosotros tenemos el 3 y digamos que su salida es el vector 12 verdad porque pueden ser en varias dimensiones entonces nuestra función f lo que hace es mapear este número con este vector verdad y entonces vamos a asociar en parejas digamos de entradas y salidas verdad así que aquí tendríamos esta pareja 3 y el vector 12 así que en realidad es simplemente es ver de qué forma asociamos digamos el número 3 con el 12 esa es la idea de construir una función verdad y la idea detrás de las transformaciones es que vamos a ver cómo es que todos estos puntos del espacio de entradas se mueven así el espacio de salidas así que vamos a empezar con un ejemplo muy simple vamos a limpiar todo esto vamos a quitar todo esto para dejar espacio a nuestro ejemplo muy bien así que voy a empezar con un ejemplo muy simple que es una función en una dimensión es decir vamos a tener una sola variable de entrada y va a tener sólo un valor de salida así que consideremos la función f x fx igual a x cuadrada menos 3 muy bien y por supuesto la forma en la que estamos acostumbrados a visualizar una función de este estilo es con una gráfica verdad y la pensamos como una parábola que en realidad está desplazada a tres unidades hacia abajo pero en este caso no vamos a considerar gráficas para visualizar esta función ok lo que vamos a hacer digamos es es pensar cómo es que estos valores de entradas se mueven a estos valores de salida así que como un ejemplo si nos vamos al 0 si nos vamos al valor 0 vemos que la función aplicada a 0 nos da pero al cuadrado menos 30 al cuadrado es cero menos tres es menos tres entonces de alguna forma el cero tomará el valor menos tres si ahora nos fijamos por ejemplo en el valor que toma uno entonces uno al cuadrado será uno menos tres nos da menos dos entonces este valor uno tendrá que llegar de alguna forma al valor menos dos ahora si nos vamos por ejemplo al valor 3 al valor 3 entonces tendremos 3 al cuadrado menos 3 verdad que es 9 menos 3 y eso nos da 6 entonces de alguna forma este punto 3 deberá llegar a este valor de salida que es el 6 verdad es el 6 entonces esta transformación lo que quiere hacer es mover estos tres números a estos tres valores de salida y con una pequeña animación podemos ver cómo es que esto ocurre y en realidad aquí podemos seguirle la pista a cuáles serán los valores de entrada originales verdad simplemente los puse por encima de los valores de salida que obtuvimos verdad y esta es una forma de observar cómo es que se mueve el espacio de entradas en el espacio de salida así que lo voy a correr nuevamente y esto es muy bonito porque tenemos la sensación de como cada entrada se mueve a un punto de salida y a diferencia de este caso que fue de una sola variable y una sola salida cuando se pone realmente divertido es cuando estamos trabajando con funciones de varias variables así que vamos ahora a considerar una función que tenga una entrada unidimensional y una salida bidimensional y específicamente consideraremos fx que va a ser igual al coseno de x coseno de x en la primera componente y luego la componente en la segunda componente será x por el seno de x x por el seno de x así que para pensar digamos en algunos ejemplos vamos a ver qué pasa cuando ponemos 0 como entrada así que pensemos quién sería efe de 0 efe de 0 tendría que ser igual al coseno de 0 verdad efe de 0 sería igual a coseno de 0 que es 11 y luego tendremos 0 por lo que sea es 0 verdad entonces la salida que tenemos para el punto cero será el punto 10 verdad tendremos el punto 10 y ahora pensemos qué pasa si evaluamos por ejemplo en pi pensemos quiénes fdp entonces fdp será igual al coseno de pi coseno de piqué es menos uno y luego tendremos pi por el seno de pi persona de pie cero entonces tendremos menos 10 verdad así que ahora tendremos este nuevo punto verdad el primero era para 0 el segundo va a ser para ti y si ahora nos fijamos en cómo cada elemento del espacio de entrada se mueve al espacio de salidas obtenemos algo más o menos de esta forma ok y nuevamente es una forma muy bonita de pensar qué es lo que está ocurriendo uno podría por ejemplo preguntarse cómo es que el espacio termina estrechándose uap ayudándose y notemos que esto también es es una gráfica paramétrica verdad de esta función y así es como se vería verdad si interpretamos esto como una función paramétrica entonces esto es lo que obtenemos al final pero sabemos que en las curvas parametrizados perdemos la información de los valores de entrada aquí al menos podemos ver cómo se mueven las cosas cuando vamos de uno al otro en el próximo vídeo voy a hablar de cómo podemos interpretar funciones con una entrada bidimensional