Noto una contradiccion respecto al anterior inciso, si parametrizamos el toro, lo tendriamos con 2 entradas y 3 salidas, es decir 5 dimensiones. No comprendo eso, para unos casos es correcto verlo como 3 dimensiones y para otros ¿no?

Ese es el punto de las superficies y curvas paramétricas, como hay más variables de salida que de entrada, en vez de intentar hacer una gráfica de 5 dimensiones, solo vemos la superficie que sale en 3 dimensiones. Y si queremos ver qué valores entrada corresponden, podemos marcarlos o ver cómo se dibujan a través del tiempo.

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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 1

Lección 6: Visualizar funciones multivariables (artículos)

Funciones paramétricas, dos parámetros

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Para representar superficies en el espacio, puedes usar funciones que tienen una entrada de dos dimensiones y una salida de tres dimensiones.

Antecedentes

Qué vamos a construir

Puedes visualizar una función con valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de tres dimensiones al graficar todos los puntos de salida que corresponden a una región del espacio de entrada. Esto resulta en una superficie, conocida como una superficie paramétrica.
El proceso de hacer esto de manera inversa, al comenzar con una superficie en el espacio y tratar de encontrar una función que "dibuje" esta superficie, es conocido como parametrizar la superficie. En general, esto es algo difícil de hacer.

Repaso rápido de funciones de un parámetro

En el artículo anterior, hablé acerca de visualizar funciones con valores de entrada de una dimensión y valores de salida de dos dimensiones. Por ejemplo:

$f (t) = [\begin{matrix} t \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Hablé acerca de por qué si el espacio de salida tiene más dimensiones que el espacio de entrada, puedes tener una buena noción de la función al solo ver a cuáles puntos en el espacio de salida los "toca" la función a medida que la entrada

t

varía sobre un conjunto de valores.

Cuando se interpreta una función de esta manera, es conocida como una función paramétrica, y su valor de entrada

t

se llama el parámetro.

Dos parámetros

Podemos hacer algo bastante parecido con funciones que tienen valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de tres dimensiones.

$f (s, t) = [\begin{matrix} t^{3} - s t \\ s - t \\ s + t \end{matrix}]$ ‍

Las dos coordenadas de entrada

s

t

serán conocidas como los parámetros, y estás a punto de ver cómo esta función dibuja una superficie en un espacio de tres dimensiones.

Este mismo concepto a veces se describe al usar un conjunto de "ecuaciones paramétricas".

\begin{aligned} x (s, t) & = t^{3} - s t \\ y (s, t) & = s - t \\ z (s, t) & = s + t \end{aligned}

Esto básicamente es solo separar la función vectorial es sus coordenadas. En el mundo de las funciones, las coordenadas de una función vectorial son funciones escalares.

Personalmente, prefiero pensar acerca de ello como una función que toma puntos de un espacio de dos dimensiones y arroja puntos en un espacio de tres dimensiones.

El primer paso para representar una función de esta manera es especificar un rango para los valores de entrada, tal como

\begin{aligned} 0 < & s < 3 \\ - 2 < & t < 2 \end{aligned}

Aquí se muestra cómo se ve esta región en el espacio de entrada.

A continuación, consideramos todos los posibles valores de salida de la función evaluada en ese rango.

Valor de entrada $(s, t)$ ‍	Valor de salida $(t^{3} - s t, s - t, s + t)$ ‍
$(0, 0)$ ‍	$(0, 0, 0)$ ‍
$(1, 0)$ ‍	$(1, 1, 1)$ ‍
$(2, 1)$ ‍	$(6, 1, 3)$ ‍
$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

Bien, entonces no escribimos literalmente todos los posibles valores de salida, porque, ya sabes, eso involucra una infinidad de cosas. En principio, sin embargo, nuestro objetivo es representar todos esos valores. Como la función arroja valores de salida con tres coordenadas, visualizamos estos valores de salida en un espacio de tres dimensiones.

La siguiente animación muestra cómo se ve a medida que los puntos

(s, t)

en el espacio de parámetros se mueven a sus valores de salida correspondientes

f (s, t)

en un espacio de tres dimensiones:

Contenedor video de Khan Academy

Ver la transcripción del video

La superficie resultante en el espacio de tres dimensiones se llama una superficie paramétrica.

Advertencia: las superficies como esta pueden confundirse con las gráficas de las funciones que tienen valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de una dimensión, ya que también se dibujan como superficies en un espacio de tres dimensiones. Pero estas funciones paramétricas tienen un sabor muy diferente. Tienen valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de tres dimensiones. ¡Ten en cuenta que esto quiere decir que graficarlas requeriría cinco dimensiones!

Parametrizar una superficie

Una de las mejores maneras para obtener una idea sobre las funciones paramétricas es comenzar con una superficie que quieras describir, después tratar de encontrar un función que la dibujará como una superficie paramétrica. Esto también es una habilidad necesaria cuando más adelante en cálculo multivariable comiences a aprender sobre integrales de superficie.

Quedas advertido, sin embargo, que parametrizar superficies no es fácil. En el siguiente ejemplo vamos a parametrizar un toro, la palabra elegante para esta superficie con forma de dona. En términos de las superficies, un toro es un ejemplo relativamente sencillo, pero aún así requiere un esfuerzo serio.

Ejemplo: parametriza un toro (dona)

Considera la superficie dibujada arriba. Puedes pensarla como la forma de una dona, o quizá solo como el glaseado sobre la dona, ya que no nos interesa el relleno. Nuestro objetivo en este momento es encontrar una función con valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de tres dimensiones tales que el resultado sea esta forma de dona.

Imaginamos "dibujar" la superficie, aunque uno no puede simplemente dibujar una superficie con lápiz y papel de la manera en la que uno puede dibujar una curva.

En cambio, nuestra estrategia será dibujar cada rebanada circular del toro. Para ver a lo que me refiero, aquí hay una muestra de esas rebanadas circulares (dibujadas en azul):

También dibujé un círculo rojo grande en el plano

x y

que pasa por el centro de cada rebanada. Esto no es parte del toro, pero será una punto de referencia útil para el objetivo final de dibujar cada rebanada azul.

En un problema real, el radio del círculo rojo podría estar especificado, así como el radio de cada rebanada circular. Por ahora, escojamos arbitrariamente que el radio del círculo rojo sea

3

y que el radio de cada rebanada azul sea

1

, con el entendido de que escoger valores diferentes nos daría toros diferentes.

Idea central: describiremos cada punto sobre el toro como la suma de dos vectores:

Un vector $\vec{c}$ ‍ que va del origen a un punto del círculo rojo. Para especificar cuál punto del círculo rojo, haremos que esta sea una función vectorial que depende de un parámetro $t$ ‍. Conforme el valor de $t$ ‍ cambie, el punto en el círculo rojo descrito por $\vec{c} (t)$ ‍ cambiará.
Un vector $\vec{d}$ ‍ que va de ese punto en el círculo rojo a un punto en la "rebanada" correspondiente del toro. La dirección en la que este vector apunte dependerá del punto del círculo rojo al que está anclado, así que el valor de $\vec{d}$ ‍ debe depender del parámetro $t$ ‍ usado para describir puntos en el círculo rojo. Más aún, usaremos un segundo parámetro $u$ ‍ para determinar hacia qué parte de la rebajada azul del toro apunta $\vec{d}$ ‍.
El vector $\vec{(} d) (u, t)$ ‍, que va desde el círculo rojo hasta un punto en el toro.

Esto quiere decir que cada punto en el toro será descrito como una suma.

$\vec{c} (t) + \vec{d} (u, t)$ ‍

(Si no estás familiarizado con el método punta a cola de suma de vectores, considera revisar este video).

¿Por qué esta estrategia?

La idea aquí es que no sabemos de manera inmediata cómo definir los puntos de un toro, pero sí sabemos cómo definir círculos.

Como el círculo rojo grande es plano en el plano

x y

, y tiene radio

3

, podemos parametrizarlo como sigue:

\begin{array}{r} \vec{c} (t) = 3 [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] = 3 \cos (t) \hat{i} + 3 \sin (t) \hat{j} + 0 \hat{k} \end{array}

Ahora, la función vectorial

\vec{d} (u, t)

también debe describir un círculo, pero es un poco más difícil. La rebanada circular (azul) del toro que queremos que

\vec{d} (u, t)

dibuje está en un ángulo. ¿Cómo dibujas un círculo que está a cierto ángulo en un espacio de tres dimensiones?

Bueno, comencemos a partir de lo que ya conocemos. Sabemos que en dos dimensiones, un círculo unitario centrado en el origen se puede describir con la función paramétrica

\begin{array}{r} g (u) = [\begin{matrix} \cos (u) \\ \sin (u) \end{matrix}] = \cos (u) \hat{i} + \sin (u) \hat{j} \end{array}

Para nuestra rebanada circular azul deseada, hacemos algo parecido, pero cambiamos

\hat{i}

\hat{j}

por vectores unitarios distintos. Échale un vistazo a esta imagen:

En vez de que la dirección "lateral" sea

\hat{i}

, el vector unitario en la dirección

x

, la pensamos como si fuera el vector unitario que apunta hacia afuera del origen, la cual llamaremos

\hat{v}

. En realidad, como esa dirección puede depender de dónde comencemos,

\hat{v}

debería ser una función vectorial dependiente del parámetro

t

, así que la escribimos como

\hat{v} (t)

Del mismo modo, la dirección "ascendente" ya no es

\hat{j}

, sino

\hat{k}

, el vector unitario en la dirección

z

. Por lo tanto la parametrización de la rebanada circular debería verse algo como esto:

\begin{array}{r} \vec{d} (u, t) = \cos (u) \hat{v} (t) + \sin (u) \hat{k} \end{array}

Esto, por supuesto, nos deja con la pregunta: ¿cuál es la fórmula para

\hat{v} (t)

Al ver la imagen, la dirección hacia afuera del origen también está descrita por

\vec{c} (t)

, de modo que la fórmula para

\hat{v} (t)

debería ser la misma que para

\vec{c} (t)

, pero escalada para ser un vector unitario.

\begin{aligned} \vec{c} (t) = 3 & [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] \leftarrow No es un vector unitario \\ ⇓ \\ \hat{v} (t) = & [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] \leftarrow Vector unitario \end{aligned}

Esto quiere decir que la expresión completa para

\vec{d} (u, t)

\begin{aligned} \vec{d} (u, t) & = \cos (u) \hat{v} (t) + \sin (u) \hat{k} \\ = \cos (u) [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] + \sin (u) [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} \cos (u) \cos (t) \\ \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \end{aligned}

Para concluir

Recuerda, el motivo por el cual definimos

\vec{d} (u, t)

\vec{c} (t)

fue para describir cada punto en el toro como

\vec{c} (t) + \vec{d} (u, t)

. Al juntar todo esto, tenemos la siguiente función vectorial de dos parámetros:

\begin{aligned} \vec{f} (u, t) & = \vec{c} (t) + \vec{d} (u, t) \\ = 3 [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \cos (u) \cos (t) \\ \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (u) \cos (t) \\ 3 \sin (t) + \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \end{aligned}

A medida que

u

varíe de

0

2 π

, el valor de salida de esta función

\vec{f} (u, t)

dibujará una de las rebanadas azules, y a medida que

t

varíe de

0

2 π

, las propias rebanadas dibujarán todo el toro.

Así es como se vería si tomáramos los puntos del espacio de parámetros donde

0 \leq u \leq 2 π

0 \leq t \leq 2 π

, y los viéramos moverse hacia los valores de salida de nuestra función

\vec{f} (u, t)

Contenedor video de Khan Academy

Ver la transcripción del video

Resumen

Puedes visualizar una función con valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de tres dimensiones al graficar todos los puntos de salida que corresponden a una región del espacio de entrada. Esto resulta en una superficie, conocida como una superficie paramétrica.
El proceso de hacer esto de manera inversa, al comenzar con una superficie en el espacio y tratar de encontrar una función que "dibuje" esta superficie, es conocido como parametrizar la superficie. En general, esto es algo difícil de hacer.

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Luisfer.coco.2001
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “Qué programa usan para re...” de Luisfer.coco.2001
Qué programa usan para representar las superficies paramétricas ?
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Yovany Vargas
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Noto una contradiccion re...” de Yovany Vargas
Noto una contradiccion respecto al anterior inciso, si parametrizamos el toro, lo tendriamos con 2 entradas y 3 salidas, es decir 5 dimensiones. No comprendo eso, para unos casos es correcto verlo como 3 dimensiones y para otros ¿no?
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- David Galarza
  Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Ese es el punto de las su...” de David Galarza
  Ese es el punto de las superficies y curvas paramétricas, como hay más variables de salida que de entrada, en vez de intentar hacer una gráfica de 5 dimensiones, solo vemos la superficie que sale en 3 dimensiones. Y si queremos ver qué valores entrada corresponden, podemos marcarlos o ver cómo se dibujan a través del tiempo.
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lmcg100597
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “En el caso de que tuviese...” de lmcg100597
En el caso de que tuviese una superficie ya parametrizada y quisiera devolverla a x,y,z, seguiria los mismos pasos?
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