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Diferenciar funciones logarítmicas usando las propiedades del logaritmo

Transcripción del video

digamos que tenemos la función fx igual al logaritmo natural de x + 5 / x menos uno muy bien esta es nuestra función y nos preguntan quién es la derivada de muy bien quién será la derivada de efe así que te invito a que hagamos una pausa y que pienses cuál sería la respuesta a este problema bien entonces yo digo que al menos hay dos formas de hacerlo una que es muy fácil pero de verdad es muy fácil y otra que es un poco más difícil muy bien entonces en este vídeo vamos a resolver ambas formas primero vamos a resolver resolver el fácil tenemos que utilizar primero las propiedades del logaritmo natural entonces el logaritmo natural de un cociente es decir de a entrevé es igual a logaritmo natural de a - el logaritmo natural debe muy bien entonces qué es lo que tenemos ahora si utilizamos esta propiedad y por supuesto cuando hablo de logaritmos natural estoy hablando del logaritmo base el número muy bien entonces si yo utilizo esa propiedad en esta función que lo que obtenemos que efe dx es el logaritmo natural de este cociente que sería el logaritmo natural de x + 5 - el logaritmo natural de x menos uno muy bien entonces sí ya tenemos esto podemos derivar la derivada de fd x era la deriva de esta de esta parte - la derivada de esta otra parte quienes la derivada de logaritmos natural de x + 5 pues es la derivada de logaritmos natural respecto de x + 5 que es uno entre x + 5 por la derivada de x + 5 con respecto de x que es uno muy bien de la misma forma y bueno esto es todo de aquí es la derivada de esta parte de aquí es justamente esta expresión y restamos la derivada del hogar y no natural con respeto the x menos uno que es uno entre x menos uno por la deriva de x menos uno con respecto de x que es uno entonces está derivada fue la derivada de este logaritmo es uno entre x menos o no ya es o fue simplemente utilizando regla de la cadena y ya está a la deriva ya es ya terminamos cuales a lo mejor tú creas que fue muy fácil y de verdad lo es ahora te preguntarás cuál es la forma difícil y quizás así lo intentaste antes de de que empezáramos a resolver el ejercicio y la forma difícil de resolver este problema es en no simplificando el logaritmo es decir utilizar sólo regla de la cadena muy bien entonces utilizando sólo regla de la cadena quien sería la derivada de efe la deriva df sería la derivada del logaritmo natural con respecto a x + 5 / x menos uno que es uno entre x + 5 sobre x menos uno por la derivada de equipo de hecho dejen hacerlo con ok con otro color digamos vamos a poner lo primero aquí así la deriva de lo gris natural con respecto de x + 5 / x menos uno es uno entre x + 5 sobre x menos uno bien sería algo así por la derivada de lo que estaba dentro verdad que es la derivada de x + 5 / x -1 la derivada con respecto de x de x + 5 / x menos uno muy bien y esto quién es quién va a ser esta expresión bueno uno / x + 5 / x menos uno simplemente tomando recíprocos o usando la regla del sándwich es x menos uno / x + 5 y ahora derivamos esto verdad y quizás te pase como a mí que a veces no nos acordamos bien de cómo era la regla del cociente pero pues eso es muy fácil porque pueden no ponerlo como x + 5 por equis -1 alam unos 1 y entonces ya en vez de acordarse de la regla del cociente puedes simplemente utilizar la regla del producto que yo digo que es un poco más fácil de acordarse entonces cómo ves aquí está la razón de porqué es mucho es más difícil que la que el otro método muy bien entonces quién será esto simplemente sustituimos de nuevo y esto es x menos uno / x + 5 y hay que multiplicar por esta derivada entonces sí derivamos el primer término con respecto de x nos queda a la deriva de x + 5 con respecto de x es uno por x menos uno al menos uno que es uno entre x menos uno y ahora sumamos simplemente derivamos x menos uno a la menos uno que es bueno según la regla de los digamos de los exponentes es menos x menos uno a la menos dos verdad que es uno entre x menos -1 al cuadrado muy bien y luego multiplicamos por éste que no no lo hicimos nada verdad entonces multiplicamos por x + 5 muy bien lo tienen vamos a bajar un poco y si reescribimos esto todavía más esto es x menos uno / x + 5 vamos a ir simplemente vamos a simplificar esto es uno entre x - 1 - x + 5 sobre x menos uno al cuadrado muy bien ahora qué pasa si nosotros hacemos la distribución de este producto bueno veamos que el primer caso éste numerador se cancela con el denominador verdad es decir si hacemos este producto nos queda x menos uno se cancela con x menos uno y nos queda uno / x + 5 - y ahora vamos a ver si ahora multiplicamos este número por este otro tenemos que x menos no se cancela con uno de estos x menos uno y el x + 5 se cancela con este x + 5 nos queda uno / x menos uno y esto es la derivada de efe y que para nuestra suerte obtuvimos el mismo resultado que antes pero como verás en este caso fue mucho más difícil que el primer método