Desafío sobre los ángulos de un triángulo. Problema 1

este parece un problema interesante tenemos aquí un polígono que parece un pentágono tiene cinco lados pero un pentágono irregular porque no todos los lados miden lo mismo bueno al menos eso parece y los lados continúan entonces tenemos ángulos exteriores que se forman en este pentágono y se nos pregunta cuál es la suma de todos estos ángulos exteriores entonces bueno pero está raro porque como puedes ver no nos dan más información ni siquiera nos están dando la medida de los otros ángulos así que de qué punto partimos aquí lo que podemos hacer es ir paso a paso y basándonos en lo que sí sabemos veamos aquí tenemos estos ángulos exteriores y cada uno de ellos es suplementario a un ángulo interior así bueno si lo desees pensamos como una función de ángulos interiores podríamos quizás escribir este problema de una manera que resulte más sencillo de resolver entonces tenemos aquí hasta la letra tenemos ángulos hasta la letra n y llamemos a este ángulo interior efe a este ángulo interior g a este h a este y a este j entonces la suma de estos ángulos exteriores a esa hora lo mismo que 180 menos g porque hay que son ángulos suplementarios entonces hay lo mismo que 180 menos g 180 menos g más b entonces bueno pero b lo podemos ver cómo lo podemos escribir en términos de este ángulo interior será 180 menos h entonces aquí tenemos más 180 menos h porque una vez más estos ángulos son suplementarios y bueno hagamos lo mismo para cada uno de los ángulos es lo mismo que 180 menos y entonces 180 menos y luego de lo podemos escribir como 180 menos j ajá más 180 menos j y finalmente es igual a 180 menos f entonces más 180 efe y lo que nos queda ahora bueno si sumamos todos los ángulos 180 tenemos 185 veces entonces esto es igual a 5 por ciento 80 lo cual es igual a qué cosa es como 900 más o menos si de hechos 900 entonces tienes menos g - h - y menos j y menos efe o podríamos escribir esto como menos que más h lo voy a hacer el mismo color bueno eso no es el mismo color entonces bueno usaré los los mismos colores estoy factor izando este signo menos entonces gemas h más y + j + j + efe y la razón por la que hice esto más efe la razón por la que hice esto es porque bueno lo que lo que es interesante aquí es que exprese esto en términos de la suma de los ángulos interiores entonces será 900 menos todo este asunto así que estos 5 por 180 es 900 menos todo esto y esto es la suma de los ángulos interiores lo escribo para tenerlo bien presente entonces es la suma de los ángulos interiores y parece que progresamos un poco si podemos averiguar la suma de los ángulos interiores bueno qué mejor así que para hacer esto te voy a mostrar un pequeño truco lo que quieres hacer es dividir este polígono el interior de este polígono en tres triángulos que no se solapen así que lo podemos hacer desde cualquier vértice digamos que desde este vértice está muy bien y mejor lo pongo en otro color baja que te parece blanco entonces aquí se forma uno de los triángulos y después pongo esto esta otra línea y se forman ya los tres triángulos así que ya dividimos este polígono en tres triángulos que no no se solapan y la razón por la que esto es válido es porque si sabemos cuál es la suma de los ángulos internos de un triángulo y para que eso nos funcione tenemos que expresar estos ángulos en términos de la suma de la suma de los ángulos porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180 entonces que ya es uno de los ángulos de este triángulo efe se reparte en dos ángulos porque bueno de esto efe es todo este ángulo entonces voy a dividir a efe en otros dos ángulos o mejor dicho en otras dos medidas de ángulos lo voy a llamar digamos que f es igual digamos que efe es igual ya tenemos hasta la letra tenemos a b c d e f g h i j no hemos usado la k aún entonces f es igual a k y l cama cl efe es igual a la suma de estos dos ángulos adyacentes k más l y ahí ya tenemos otros dos ángulos de este triángulo podemos hacer lo mismo para para j entonces hagamos lo mismo para el ángulo j con el ángulo j&j es todo esto entonces podemos dividir a jota jota es igual ya usamos el entonces jota es igual a m más n m más n acá lo pongo jota es igual a m n y finalmente podemos dividir al ángulo h h es todo esto entonces podemos decir que h es igual a o más p más q esto es o esto es p y esto es q y recuerda yo quiero dividir estos ángulos interiores para ya tener ángulos con nombre en estos triángulos entonces tenemos aquí qué es igual acá lo escribo h es igual a más q y eso es interesante porque ahora podemos escribir la suma de estos ángulos interiores como la suma de un montón de ángulos que son parte de estos triángulos luego podemos usar el hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180 así que entonces hagamos esto en esta expresión esta expresión aquí tenemos que entonces voy a escribir aquí que aunque aunque no mejor mejor voy a escribir todo así que tenemos 900 menos y ahora si pongo entonces que más y en lugar de h puedo poner que es igual a más p más q entonces más o más p más q luego más y entonces aquí voy a poner más y y luego más jota pero jota estoy usando los colores correctos o no creo que ya no sé entonces jota es esta expresión jota es igual a msn entonces más m más n y finalmente tenemos aquí efe a que es igual de ff lo dividimos en dos ángulos aquí podemos ver efe es igual acá más l y lo único que yo hice aquí puede reescribir esta parte en términos de estos ángulos ahora por atención porque algo interesante está a punto de suceder aquí voy a hacer magia matemática así que ya sabemos cuál es la suma de estos ángulos sabemos que gemas camas es igual a 180 son la suma de los ángulos internos para este primer triángulo este primer triángulo gemas camas o es igual a 180 lo voy a escribir acá en un nuevo color para este triángulo sabemos qué más o más acá es igual a 180 la suma de estos tres es igual a 180 y bueno entonces voy a escribir otro color ya sabemos también que sabemos que para este triángulo del medio p más el m es igual a 180 entonces temas de demás m es igual a 180 temas en ser es igual a 180 de estos tres más 180 y finalmente sabemos que para este último triángulo también la suma de sus ángulos internos q mas n más y es igual a 180 así que para este triángulo tenemos que comas n más y es igual a 180 grados así que sigue aquí sabemos que la suma de los ángulos internos para un pentágono irregular bueno de hecho para cualquier pentágono será de ciento ochenta 180 180 lo cual es igual a 540 y si queremos la suma para este bueno estos 540 si queremos dar la suma de los ángulos externos simplemente los restamos de 900 así que 900 menos 540 es simplemente 360 grados y eso esa es la respuesta 360 grados