Modelar con tablas, ecuaciones y gráficas

Observa cómo las relaciones entre dos variables, como el número de ingredientes y el costo de una pizza, puede ser representadas con una tabla, una ecuación o una gráfica.
En las matemáticas, todo se trata de relaciones. Por ejemplo, ¿cómo podemos describir la relación entre la altura y el peso de una persona? O, ¿cómo podemos describir la relación entre cuánto dinero ganas y cuántas horas trabajas?
En matemáticas, las tres formas principales de representar una relación son una tabla, una gráfica o una ecuación. En este artículo, representaremos la misma relación de las tres maneras para ver cómo funciona cada una.
Ejemplo de una relación: Una compañía de pizzas vende la pizza pequeña en dollar sign, 6. Cada ingrediente cuesta dollar sign, 2.

Representación por medio de una tabla

Sabemos que el costo de una pizza con 0 ingredientes es de dollar sign, 6; una pizza con 1 ingrediente cuesta dollar sign, 2 más, es decir, dollar sign, 8, y así sucesivamente. A continuación mostramos una tabla que exhibe este hecho:
Ingredientes en la pizza left parenthesis, x, right parenthesisCosto total left parenthesis, y, right parenthesis
0dollar sign, 6
1dollar sign, 8
2dollar sign, 10
3dollar sign, 12
4dollar sign, 14
Por supuesto, esta tabla solo muestra el costo total de algunos números posibles de ingredientes. Por ejemplo, no hay razón alguna que impida que tengamos 7 ingredientes en la pizza (¡Más allá de que sería asquerosa!).
Veamos cómo esta tabla tiene sentido para una pizza pequeña con 4 ingredientes.
Este es el costo de únicamente la pizza:
dollar sign, start color greenD, 6, end color greenD
Este es el costo de los start color blueD, 4, end color blueD ingredientes:
start color blueD, 4, end color blueD ingredientes dot dollar sign, 2 por ingrediente equals dollar sign, start color goldD, 8, end color goldD
Lo que nos lleva al costo total de
dollar sign, start color greenD, 6, end color greenD, plus, dollar sign, start color goldD, 8, end color goldD, equals, dollar sign, 14.
¿Cuánto costaría una pizza pequeña con 5 ingredientes?
dollar sign
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i

Extendamos la tabla una fila más:
Ingredientes en la pizza left parenthesis, x, right parenthesisCosto total left parenthesis, y, right parenthesis
0dollar sign, 6
1dollar sign, 8
2dollar sign, 10
3dollar sign, 12
4dollar sign, 14
5dollar sign, 16
Una pizza pequeña con 5 ingredientes costaría dollar sign, 16.

Representación por medio de una ecuación

Escribamos una ecuación para el costo total y de una pizza con x ingredientes.
Este es el costo de únicamente la pizza:
dollar sign, start color greenD, 6, end color greenD
Este es el costo de x ingredientes:
x ingredientes dot dollar sign, 2 por ingrediente equals x, dot, 2, equals, start color goldD, 2, x, end color goldD
Por lo que la ecuación del costo total y de una pizza pequeña es:
y, equals, start color greenD, 6, end color greenD, plus, start color goldD, 2, x, end color goldD
Veamos cómo esta ecuación tiene sentido para una pizza pequeña con 3 ingredientes:
x, equals, start color blueD, 3, end color blueD, pues hay start color blueD, 3, end color blueD ingredientes.
El costo total es 6, plus, 2, left parenthesis, start color blueD, 3, end color blueD, right parenthesis, equals, 6, plus, 6, equals, dollar sign, 12
Usa la ecuación para encontrar el costo de una pizza con 100 ingredientes.
dollar sign
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i

x, equals, start color blueD, 100, end color blueD, pues hay start color blueD, 100, end color blueD ingredientes.
El costo total es 6, plus, 2, left parenthesis, start color blueD, 100, end color blueD, right parenthesis, equals, 6, plus, 200, equals, dollar sign, 206

Representación por medio de una gráfica

Podemos construir pares ordenados para los valores de x y y:
Ingredientes en la pizza left parenthesis, x, right parenthesisCosto total left parenthesis, y, right parenthesisPar ordenado left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis
0dollar sign, 6left parenthesis, 0, comma, 6, right parenthesis
1dollar sign, 8left parenthesis, 1, comma, 8, right parenthesis
2dollar sign, 10left parenthesis, 2, comma, 10, right parenthesis
3dollar sign, 12left parenthesis, 3, comma, 12, right parenthesis
4dollar sign, 14left parenthesis, 4, comma, 14, right parenthesis
Con los pares ordenados, construimos la gráfica:

¡Genial! Observa cómo la gráfica nos ayuda a ver fácilmente que el costo total de la pizza pequeña crece conforme añadimos más ingredientes.

¡Lo logramos!

Representamos el escenario donde una compañía de pizzas vende la pizza pequeña en dollar sign, 6 y cada ingrediente cuesta dollar sign, 2 por medio de una tabla, una ecuación y una gráfica.
Lo fantástico es que usamos estos tres métodos para representar la misma relación. La tabla nos permitió ver exactamente cuánto cuesta una pizza con diferente número de ingredientes; la ecuación nos dio una forma de encontrar el costo de una pizza con cualquier número de ingredientes, y la gráfica nos ayudó a visualizar la relación.
Ahora vamos a darte una oportunidad de crear una tabla, una ecuación y una gráfica para representar una relación.

¡Inténtalo!

Una tienda de helados vende 2 bolas de helado por dollar sign, 3. Cada bola adicional cuesta dollar sign, 1.
Completa la tabla para representar la relación.
Bolas de helado left parenthesis, x, right parenthesisCosto total left parenthesis, y, right parenthesis
2dollar sign, 3
3$
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i
4$
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i
5$
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i
6$
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i

Recuerda que cada bola adicional agrega dollar sign, 1 al costo total:
Bolas de helado left parenthesis, x, right parenthesisCosto total left parenthesis, y, right parenthesis
2dollar sign, 3
3dollar sign, 4
4dollar sign, 5
5dollar sign, 6
6dollar sign, 7
Escribe una ecuación para representar la relación.
Recuerda utilizar x para las bolas de helado y y para el costo total.

¡Esta ecuación es difícil!
Sabemos que el costo de cada bola adicional después de 2 bolas es dollar sign, start color blueD, 1, end color blueD. Por lo tanto, la ecuación debe incluir
start color blueD, 1, end color blueD, dot, x.
Para que la ecuación sea verdadera para los valores x, equals, 2 y y, equals, 3, por ejemplo, necesitamos sumar start color greenD, 1, end color greenD. Por lo tanto, la ecuación es:
y, equals, start color blueD, 1, end color blueD, dot, x, plus, start color greenD, 1, end color greenD
También podemos escribirla como:
y, equals, x, plus, start color greenD, 1, end color greenD
Grafica los puntos de la tabla y representa la relación.
¡Asegúrate de graficar los puntos exactos de la tabla!

Estos son los pares ordenados de valores x y y:
Bolas de helado left parenthesis, x, right parenthesisCosto total left parenthesis, y, right parenthesisPar ordenado left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis
2dollar sign, 3left parenthesis, 2, comma, 3, right parenthesis
3dollar sign, 4left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis
4dollar sign, 5left parenthesis, 4, comma, 5, right parenthesis
5dollar sign, 6left parenthesis, 5, comma, 6, right parenthesis
6dollar sign, 7left parenthesis, 6, comma, 7, right parenthesis
Esta es la gráfica:

Comparación de las tres formas distintas

Aprendimos que las tres formas principales de representar una relación son una tabla, una ecuación y una gráfica.
¿Cuáles piensas que son las ventajas y las desventajas de cada representación?
Por ejemplo, ¿por qué alguien utilizaría una gráfica en vez de una tabla? ¿Por qué alguien utilizaría una ecuación en vez de una gráfica?
¡Siéntete libre de discutirlo en los comentarios!