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Modelar con ecuaciones lineales: membresía de un gimnasio y limonada

Transcripción del video

vamos a hacer un par de problemas más acerca de gráficas de líneas rectas y aquí tengo un problema que dice un gimnasio está ofreciendo un trato a sus nuevos clientes sus clientes pueden ingresar al gimnasio pagando una cuota de inscripción anual de 200 pesos y una cuota mensual de 39 pesos aquí tenemos 39 pesos por cada mes y este de aquí estos 200 pesos son de inscripción ahora bien la pregunta me dice lo siguiente cuánto costará esta membresía para el cliente al final de un año y bueno lo primero que quiero que te des cuenta lo primero que sería muy bueno sacar es la relación precio con la cantidad de meses que nos quedamos y quiero que te des cuenta que si nosotros nos quedamos un mes dos meses cinco meses la cantidad de meses que sean lo que tenemos que pagar en un inicio son estos doscientos pesos y déjame mejor ponerlo todo en pesos todo está en pesos y entonces son 200 pesos de inscripción que forzosamente tenemos que pagar a este gimnasio sea la cantidad de meses que nos quedemos ahora bien a esto hay que agregarle 30 nueve pesos por cada mes es decir si nosotros nos quedamos un mes vamos a pagar forzosamente estos doscientos pesos de inscripción y además vamos a pagar 39 por 1 es decir 239 pesos vamos a pagar en total y si nosotros nos quedamos por ejemplo dos meses pues tenemos que pagar forzosamente también estos doscientos pesos de inscripción más 39 por 239 de un mes y 39 del otro es decir 39 39 78 278 pesos por lo tanto de aquí tengo mi relación del precio con la cantidad de meses que me voy a quedar ahora esta es la ecuación de una línea recta y es igual a mx más ven cómo puedo escribir esto de la misma manera que está escrita esta línea recta pues bueno esto es lo mismo que escribir 39 m más 200 y es que date cuenta de lo siguiente en esta ecuación y es igual a m x + b x es la variable independiente mientras que iu es la variable dependiente déjame escribirlo esta es la variable independiente mientras que ya representa la variable dependiente mientras que ahora en esta ecuación que yo tengo aquí abajo es muy variable independiente representa lo que representa la equis aquí arriba mientras que p es muy variable dependiente es decir que pueda jugar el mismo papel que juega la yema en la función de aquí arriba y es de 200 este 200 es me ordenada al origen es decir en qué punto interceptamos al eje de las 10 bueno no es al eje de las 10 en este caso sería el eje de las pez recuerda que en esta ocasión no se representa lo que representa que el 39 es muy pendiente y una vez que ya tenemos esta función de la forma mx más bien entonces pues vamos a poder graficar lo que tenemos aquí voy a dibujar estos dos ejes a mano y espero que no me queden tan mal lo primero que sé es que nosotros tenemos que pagar 200 pesos sea la cantidad de tiempo que nos quedemos es decir en un principio tenemos que pagar 200 pesos de inscripción entonces estamos situados en este punto es decir que en el mes cero estamos pagando 200 pesos que son los 200 pesos de inscripción y después por cada mes que pase es decir si pasa un mes aquí y bueno déjeme escribir que este es el eje de los meses y por aquí tenemos el eje del precio de lo que vamos a pagar dp entonces si pasa un mes nosotros vamos a pagar 39 pesos más porque el mes vale 39 pesos es decir 200 pesos más otros 39 pesos por este mes que nos vamos a quedar y nos situamos aquí aquí va a ser el valor de 239 pesos y si pasa otro mes pues entonces tenemos que pagar 39 pesos más es decir 278 pesos y bueno yo sé que la escala tal vez no sea la mejor o la más indicada pero ya nos da la idea de nuestra línea recta que tengo aquí y ahora vamos a responder esta pregunta lo que nos preguntan es cuánto vamos a pagar al finalizar del año es decir 123 hasta el doceavo mes es decir estaremos todos más o menos por acá y como se ve que la gráfica sería muy grande y se nos amontonar y a todo entonces vamos a sustituir a m por 12 de manera algebraica y que me va a quedar que p es igual a 200 más 39 por m pero m vale 12 entonces más 39 por 12 estamos viendo que es lo que va a pasar en el mes y cuántos 39 por 12 2 por 9 18 llevamos 1 2 por 3 son 6 más unas son 7 y después ponemos un 0 aquí y es 1 por 99 1 por 3 son 3 y quitamos este de aquí 3 y me quedan 8 9 y 7 son 6 16 llevamos una traición a 4 468 entonces 200 mas 468 las 468 lo que me sale de 39 por 12 y la suma de esto es 668 pesos que vamos a pagar al finalizar el año es decir la respuesta de este problema si nosotros siguiéramos la línea recta con 668 pesos pero bueno vamos a hacer otro problema bobby y petra tienen un puesto de limonada ellos cobran 45 centavos por cada vaso de limonada así que 45 centavos por cada vaso de limonada para cubrir sus gastos de producción ellos tienen que conseguir 25 pesos así que 25 pesos cuantos vasos de limonada tienen que vender para conseguir sus gastos de producción así que vamos a bautizar a nuestras variables x 7 para que podamos graficar esta función voy a decir que lleva a ser la cantidad de dinero que ellos están obteniendo que ellos están haciendo están haciendo mientras que xv hoy a decir que es la cantidad de vasos que ellos están vendiendo la cantidad de vasos que están vendiendo y bueno ya que tengo quién es xy quién ejem como puedo ver alguien como una función de x pues voy a decir que james es igual a quién bueno pues cada vaso vale 45 centavos es decir 0.45 pesos por equis porque si nosotros vendemos un vaso pues recibimos 45 centavos si vendemos 2 pues 90 centavos y así sucesivamente y date cuenta que en este caso no estamos recibiendo dinero por ninguna otra parte solamente estamos recibiendo dinero de vender los vasos de limonada por lo tanto nuestra función solamente queda así y es igual a 0.45 equis y ahora lo que quiero ver y lo que me dicen es que ellos tienen unos gastos de producción de 25 y entonces lo que ellos se preguntan es cuántos vasos tienen que vender para conseguir mínimo estos 25 pesos es decir si lleva el de 25 cuánto tiene que valer x para conseguir que llevara 25 y no va a quedar esta ecuación a 0.45 x es igual a 25 estos 25 pesos que esto conseguir y si de aquí despejamos x me va a quedar que voy a dividir ambos lados de la ecuación entre 0.45 esto se va y me queda que x es igual a 25 entre 0.45 que cuánto es eso a ver 25 en 3.45 y me da 55 puntos 55 55 55 y esto lo podemos redondear a 55.6 pero bueno x vale 55.5 periódico ahora lo que quiero que veas es que no podemos vender y bueno asumiendo que no podemos vender medio vaso tres cuartos de vaso lo que sea entonces lo que necesitábamos conseguir son cincuenta y seis vasos de limonada mínimos para cubrir los gastos de producción estoy redondeando esta cantidad a 56 vasos y esa es la respuesta pero cómo se va a ver gráficamente este mismo problema voy a dibujar aquí a mis dos ejes este va a ser mi hijo de las equis este va a ser mi que de leyes y si te das cuenta en esta ocasión no tenemos la ordenada al origen solamente tenemos una pendiente de 0.45 que suena muy lógico si no vendemos ningún vaso pues entonces no ganamos nada así que voy a poner 5 10 15 20 25 aquí no me cabe así que volvamos a empezar te voy a hacer un poco más grande la escala va a ser mejor 10 20 30 40 50 y hasta acá 60 y entonces si yo no vendo nada no consigo nada de dinero después siguió habiendo diez vasos entonces ganó 4.5 pesos y entonces bueno voy a decir que aquí son 4.5 pesos aquí son 9 pesos así etcétera entonces si bobby y petra venden 10 vasos ellos consiguen 4.5 pesos déjame ponerlo mejor así vamos a borrar todo y empezar de nuevo así que borrón y cuenta nueva acá voy a suponer que son 9 aquí son 18 acá son 27 un poco más arriba son 35 y bueno en 10 vasos voy a vender 4.5 pesos o sea que estoy justo aquí en 20 vasos pues 9 pesos en 40 vasos voy a vender 18 pesos y bueno ya tienes la idea de que la pendiente es como 4.5 y entonces si yo juntos los puntos tengo una extraña línea recta vamos a suponer que esta es una línea recta y ahora sí si pensamos en el costo de producción en estos 25 pesos cuando yo tengo 25 pesos entonces voy a vender y déjame mejor hacer un poco más adecuada esta línea recta porque esta línea recta no aparece nada recta así que vamos a dibujar una línea recta que tampoco me quedó muy recta pero bueno ya lo estoy intentando un poco mejor y este que es mi costo de producción me dice que cuando nosotros tenemos que conseguir 25 pesos entonces necesitamos vender en 3 de 5 y 56 vasos de limonada y yo sé que tal vez no sea la mejor gráfica que has visto pero espero que te dé una idea