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Ejemplo resuelto: clasificación de números

CCSS.Math:
8.NS.A.1

Transcripción del video

a qué conjuntos de números pertenece 3.40 28 pero con este 28 con esta línea que arriba entonces lo primero que tenemos que hacer antes de tratar de contestar esta pregunta es recordar que significa esta línea de aquí arriba del 28 esta línea lo que significa es que a la derecha de éste decimal se repite el 28 una infinidad de veces este número en realidad lo podemos escribir como 3.40 28 pero ahora tenemos que repetir el 28 muchas veces ley es este número de aquí nada más que digamos que sigo escribiendo 28 una infinidad de veces aquí a la derecha claro que como es imposible que yo haga eso siempre es muchísimo más fácil escribir simplemente 3.40 luego el 28 con esta línea de aquí arriba bueno ahora sí vamos a preguntarnos a qué conjuntos de números pertenece este número así es que haber el conjunto más grande con el que podamos estar familiarizados es el conjunto de los números reales cierto conjunto de los números 9 alex y bueno por si no te acuerdas cuales los números reales de hecho los podemos representar con la recta numérica los números reales son todos los puntitos que hay en la recta hacia el infinito y hacia el menos infinito y este número de aquí pues resulta ser un punto de esta recta haber podemos poner por aquí al menos 1 al 0 al 1 al 2 al 3 4 y entonces este número de aquí está a la derecha del 3 no somos por aquí es más grande que 3.4 porque tiene todos estos decimales a la derecha pero es más chico que 3.41 entonces definitivamente es más chico que 3.5 así es que este es un muy buen punto para representarlo ahora aquí mismo podemos ver que este número definitivamente no es un número entero ni es un número natural pero sí es un número real ahora lo que no queda tan claro es si este número es un número racional o no saber cuándo son los números racionales haber un número p es racional es relación si y sólo si éste es mi símbolo de si y sólo si se puede describir como una expresión ración el de 12 enteros que ella eso es tal cual como decir que se puede escribir como una fracción que disipe se puede describir como un número entero entre otro número entero con m n enteros teros entonces la pregunta de si este número es un número racional o no es equivalente a preguntarnos si este número se puede escribir como una fracción y eso es justo lo que vamos a tratar de averiguar me conozco por ahí un truco que está buenísimo entonces tenemos por aquí x iguale 3.40 28 infinitamente repetido lo que estamos diciendo que x es igual al número que nos interesa tanto y ahora lo que vamos a hacer es multiplicar x por diez mil 10.000 x y pensar en cuánto vales porque estoy multiplicando x por 10.000 pues porque lo que quiero hacer es recorrer este punto decimal para que nos quede por acá y la forma de hacer eso es multiplicar por diez mil porque cada que multiplicamos por diez estamos recorriendo el punto decimal un lugar hacia la derecha y 10.000 es 10 a la 4 así es que vamos a recorrer punto decimal 1234 entonces 10.000 por x340 28 el punto nos queda por aquí y ahora hay que recordar que a la derecha de este 28 hay una infinidad de 28 2 por lo tanto a la derecha este punto decimal ahí todavía otra infinidad de 28 años y ahora tiene una parte muy importante del truco que ahora vamos a multiplicar a x pero lo grave por 10 mil por cien y entonces este punto decimal se va a mover dos lugares a la derecha y lo que nos queda es 340.581 personas estos números pues porque si restamos este número - este número estos decimales infinitos con una infinidad de cifras van a ser exactamente iguales y a la hora de restar los se eliminan y entonces nada más nos quedan puras cosas enteras finitas con una cantidad más accesible para nosotros de cifras que y si restamos 10 mil x menos 100 x que por cierto las dos cosas son múltiplos de x y eso nos va a ayudar bastante van a ver como más adelante nos va a quedar igual a 34.028 menos 346 porque el punto 28 repetido infinitas veces menos punto 28 repetido infinitas veces nos queda a cero pero bueno vamos a escribirlo paso por paso a ver pero antes de empezar a hacer las cuentas déjame ordenó esto un poco más para que los puntos decimales estén en el mismo lugar y ahora sí punto 28 28 28 28 y así hasta la intimidad menos lo mismo punto 28 28 28 28 y así hasta la infinidad sea éste menos éste como son exactamente iguales nos queda 0 ahora por acá 8 - 08 2 - cuatro pues le vamos a tener que pedir prestado al vecino que le va a tener que pedir prestado al vecino aquí este 4 le presta un entonces nos queda 3 en este lugar pero aquí entonces nos queda 10 claro que queremos que éste le preste uno por acá entonces aquí no va a quedar un 9 porque le presta 1 a éste para que nos lleve 12 bien entonces 12 - cuatro son ocho otra vez y nueve menos tres son seis y finalmente aquí tenemos un 3 y un 3 y de este lado lo que tenemos es 10 mil x menos 100 x eso lo que nos queda es saber 10.000 menos 100 pues eso es 9900 x y buena este punto cero lo podemos borrar bueno y ahora ya que tenemos esto así vamos a encontrar a x con usando esta fórmula entonces lo que tenemos que hacer es despejar x y para hacer eso dividimos entre 9.900 de los dos lados del y cuál 9900 entre 9.900 es un 1 así es que de aquí nos queda simplemente una x y desde el lado pues nos queda 3 3 688 entre 99 00 y listo aquí tenemos algo muy interesante porque ósea recuerden quién es x x este número de aquí que es este número del cual nos estamos preguntando qué a qué conjuntos pertenece y entonces tomamos este número hicimos muchas manipulaciones algebraicas y lo logramos escribir como un entero entre otro entero y es justo la definición de ser un número racional aunque hay entonces con todo esto que acabamos de hacer aquí acabamos de demostrar que x o sea nuestro número 3.40 y 28 28 28 y el 28 repitiéndose una infinidad de veces un número racional sión al cai y bueno es cierto esta fracción se puede simplificar hecho se puede dividir entre 2 y seguramente también se puede dividir entre cuatro sin embargo eso no nos importa lo único que nos importa es que se puede describir como una fracción y bueno este truco de recorrer el punto decimal un lugar a la derecha de las cifras que se repiten y restarle ese mismo número pero recorriendo el decimal justo antes de que empiecen las cifras que se repiten es un truco que se puede aplicar para cualquier número que tenga este tipo de decimales aunque éstos decimales que se repiten una infinidad de veces ahora no todos los números que tienen una infinidad de decimales son racionales hay números que tienen decimales que no siguen ningún tipo de patrón que no los puedes escribir como muchas cifras y después una secuencia de decimales que se repiten y se repiten y se repiten infinitamente y justo esos números que no tienen una secuencia que se repite y se repite y se repite son los números y racionales números como el número pi que seguramente has escuchado algo de ese número entonces este número no es un número irracional y ya habíamos visto que no era ni un número natural ni un número entero