Ejemplo resuelto: clasificación de números

a que conjuntos de números pertenece 3.40 28 pero con este 28 con esta línea aquí arriba entonces lo primero que tenemos que hacer antes de tratar de contestar esta pregunta es recordar qué significa esta línea de aquí arriba del 28 ok esta línea lo que significa es que a la derecha de este decimal se repite el 28 una infinidad de veces aquí este número en realidad lo podemos escribir como 3.40 28 pero ahora tenemos que repetir el 28 muchas veces ok es este número de aquí nada más que digamos que sigo escribiendo 28 una infinidad de veces aquí a la derecha claro que como es imposible que yo haga eso siempre es muchísimo más fácil escribir simplemente 3.40 y luego el 28 con esta línea de aquí arriba bueno ahora sí vamos a preguntarnos aquí juntos de números pertenece este número así es que a ver el conjunto más grande con el que podamos estar familiarizados es el conjunto de los números reales cierto conjunto de los números reales y bueno por si no te acuerdas cuáles los números reales de hecho los podemos representar con la recta numérica ok los números reales son todos los puntitos que hay en la recta hacia el infinito y hacia el menos infinito y este número de aquí pues resulta ser un punto de esta recta a ver podemos poner por aquí el menos 1 al 0 al 1 al 2 al 3 4 y entonces este número de aquí está a la derecha del 3 más o menos por aquí es más grande que 3.4 porque tiene todos estos decimales a la derecha pero es más chico que 3.41 entonces definitivamente es más chico que 3.5 así es que este es un muy buen punto para representarlo ahora aquí mismo podemos ver que este número definitivamente no es un número entero ni es un número natural pero si es un número real ahora lo que no queda tan claro es si este número es un número racional o no no quería ver cuando son los números racionales saber un número que es racional nacional si y sólo si éste es mi símbolo de si y sólo si se puede escribir como una expresión racional de dos enteros aunque ya esto es tal cual como decir que se puede escribir como una fracción un casey p se puede escribir como un número entero entre otro número entero m y n enteros en ceros entonces la pregunta de si este número es un número racional o no es equivalente a preguntarnos si este número se puede escribir como una fracción y eso es justo lo que vamos a tratar de averiguar me conozco por ahí un truco que está buenísimo entonces tenemos por aquí x igual a 3.40 28 infinitamente repetido lo que estamos diciendo que x es igual al número que nos interesa tanto y ahora lo que vamos a hacer es multiplicar x por 10 mil 10.000 xy pensar en cuánto vale eso porque estoy multiplicando a x por 10.000 pues porque lo que quiero hacer es recorrer este punto decimal para que nos quede por acá ok y la forma de hacer eso es multiplicar por 10.000 porque cada que multiplicamos por 10 estamos recorriendo el punto decimal un lugar hacia la derecha y 10.000 es 10 a la 4 así es que vamos a recorrer punto decimal 1 2 3 4 entonces 10.000 por equis es 3 4 028 el punto nos quedó por aquí y ahora hay que recordar que a la derecha de este 28 hay una infinidad de 28 por lo tanto a la derecha de este punto decimal hay todavía otra infinidad de 28 y ahora tiene una parte muy importante del truco ok ahora vamos a multiplicar a equis pero lo grande por 10.000 por cien y entonces este punto decimal se va a mover dos lugares a la derecha y lo que nos queda es 340 punto 28 repetido muchas veces ahora porque nos interesan estos números pues porque si restamos este número menos este número estos decimales infinitos con una infinidad de cifras exactamente iguales y a la hora de restar los se eliminan y entonces nada más nos quedan puras cosas enteras finitas con una cantidad más accesible para nosotros de cifras ok si restamos 10.000 x menos 100 x que por cierto las dos cosas son múltiplos de equis y eso nos va a ayudar bastante van a ver como más adelante nos va a quedar igual a 34 mil 28 menos 340 aunque porque el punto 28 repetido infinitas veces menos punto 28 repetido infinitas veces nos queda 0 pero bueno vamos a escribirlo paso por paso pero antes de empezar a hacer las cuentas déjame ordenó esto un poco más para que los puntos decimales estén en el mismo lugar y ahora si punto 28 28 28 28 y así hasta la infinidad menos lo mismo punto 28 28 28 28 y así hasta la infinidad o sea este menos este como son exactamente iguales nos queda 0 ahora por acá 8 - 08 porque dos menos cuatro pues le vamos a tener que pedir prestado al vecino que le va a tener que pedir prestado al vecino aquí este 4 le presta uno entonces nos queda 3 en este lugar pero aquí entonces nos queda 10 claro que queremos que éste le preste 1 por acá entonces aquí nos va a quedar un 9 porque le presta 1 a éste para que nos quede 12 bien entonces 12 menos cuatro son 8 otra vez y 9 menos tres son y finalmente aquí tenemos un 3 3 y de este lado lo que tenemos es 10.000 x menos 100 x eso lo que nos queda es haber 10.000 menos 100 pues eso es 9 mil 900 x y bueno este punto cero lo podemos borrar bueno ya ahora ya que tenemos esto así vamos a encontrar a x con usando esta fórmula aunque entonces lo que tenemos que hacer es despejar x y para hacer eso dividimos entre 9.900 de los dos lados del igual nueve mil novecientos entre 9.900 es un 1 así es que de aquí nos queda simplemente una equis y de este lado pues nos queda 3 3 688 entre 9 900 y listo aquí tenemos algo muy interesante ahora que hay porque osea recuerden quién es x x es este número de aquí que es este número del cual nos estábamos preguntando qué conjuntos pertenece acá y entonces tomamos este número hicimos muchas manipulaciones algebraicas y lo logramos escribir como un entero entre otro entero y ese es justo la definición de ser un número racional aunque hay entonces con todo esto que acabamos de hacer aquí acabamos de demostrar que x o sea nuestro número 3.40 y 28-28 28 y el 28 repitiéndose una infinidad de veces es un número racional racional y bueno es cierto esta fracción se puede simplificar mucho se puede dividir entre dos y seguramente también se puede dividir entre cuatro sin embargo esto no nos importa lo único que nos importa es que se puede escribir como una fracción y bueno este truco de recorrer el punto decimal un lugar a la derecha de las cifras que se repiten y restarle ese mismo número pero recorriendo el decimal justo antes de que empiecen las cifras que se repiten es un truco que se puede aplicar para cualquier número que tenga este tipo de decimales aunque estos decimales que se repiten una infinidad de veces ahora no todos los números que tienen una infinidad de decimales son racionales hay números que tienen decimales que no siguen ningún tipo de patrón y que no los puedes escribir como muchas cifras y después una secuencia de decimales que se repiten y se repiten y tan infinitamente y justo esos números que no tienen una secuencia que se repite y se repite y se repite son los números irracionales que hay números como el número pi que seguramente has escuchado algo de ese número entonces este número no es un número irracional y ya habíamos visto que no era ni un número natural ni un número entero