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Resolución de ecuaciones por medio de gráficas: 5x+3y=7 y 3x-2y=8

Transcripción del video

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales graficándolo. Las ecuaciones que nos dan son, "5x" más "3y" igual a 7 y "3x" menos "y" igual a 8. Cuando nos están pidiendo resolver el sistema, lo que nos pidiendo en realidad es encontrar la "x" y la "y" que satisfacen ambas ecuaciones. Cuando nos piden que sea graficando, graficar esta ecuación es dibujar los valores de "x" y "y" que satisfacen esta ecuación y graficar esta otra ecuación es dibujar los valores de "x" y "y" que satisfacen esta otra ecuación, cuando nos piden entonces un valor de "x" y "y" que satisface ambas ecuaciones, ese punto debe de estar en ambas ecuaciones o más bien debe de estar en las gráficas de ambas ecuaciones, por lo cual será la intersección de las gráficas. Veamos si podemos hacer eso, enfoquémonos en esta primera ecuación. Queremos graficar entonces "5x" más "3y" igual a 7. Y hay varias maneras de hacer esto, podríamos poner la ecuación en la forma pendiente-ordenada o simplemente podríamos dar valores en una tabla para obtener los puntos de la recta, hagamos eso, al final de cuentas solo necesitamos dos puntos para poder trazar la recta. Obtengamos entonces los valores de "x" y "y". Cuando "x" es igual a 0, tenemos que 5 por 0 más "3y" es igual a 7, déjame hacerlo por acá. Tenemos entonces que 5 por 0 más 3 por "y" es igual a 7, este término se va a 0 y aquí dividimos ambos lados entre 3, ¿y qué nos queda? 3 entre 3 es 1, nos queda "y" igual a 7/3, "y" igual a 7/3, lo cual es igual a 2 enteros 1/3, si queremos escribirlo como número mixto. Hagamos ahora "y" igual a 0, si "y" es igual a 0, ¿qué tenemos por aquí? 5 por "x" más 3 por 0 es igual a 7, este término es igual a 0 y nos queda "5x" igual a 7, dividiendo entre 5 ambos lados obtenemos que "x" es igual a 7/5. Entonces cuando "y" es igual a 0, "x" es igual a 7/5 ó 1 entero 2/5. Grafiquemos entonces estos puntos para poder graficar esta línea o una buena aproximación de esta línea. Entonces cuando "x" es igual a 0, "y" es igual a 2 enteros 1/3, aquí lo tenemos, este es el punto 0, 7/3 y cuando "x" es igual a 7/5, "y" igual a 0, es decir cuando "x" es igual a 1 entero 2/5, es cerca de 1.5, aquí lo tenemos, "y" igual a 0. Aquí tenemos los dos puntos y vamos entonces a unirlos para obtener la recta, trazamos la recta, siempre es un poco difícil trazar una recta, voy a hacerla con una línea punteada, se va a ver algo así como esto. Usualmente cuando te piden resolver un sistema de ecuaciones por graficación, obtienes números enteros, sin embargo vamos a hacer lo mejor que podamos para ver dónde se intersectan estas dos rectas. Bien, entonces hagamos ahora la segunda recta. "3x" menos "2y" es igual a 8, voy a hacer lo mismo, tenemos que "3x" menos "2y" es igual a 8 y voy a encontrar también la intersección con el eje "x" y la intersección con el eje "y". Entonces cuando "x" es igual a 0, ¿a qué es igual "y"? Vamos a hacerlo por acá, 3 por 0 menos "2" por "y" es igual a 8, este término es igual a 0, dividiendo entre -2 ambos lados obtenemos entonces que "y" es igual a -4, entonces "y" es igual a -4, hemos encontrado entonces que la intersección con el eje "y" es en -4 y aquí tenemos el punto 0, -4. Hagamos ahora entonces "y" igual a 0, cuando "y" igual a 0, aquí lo vamos a sustituir, ¿y qué tenemos? Que tenemos que es "3x" este término se hace 0, "3x" es igual a 8, dividiendo ambos lados entre 3, resulta que "x" es igual a 8/3. "x" es igual a 8/3, vamos a graficarlo 8/3 es más o menos 2 enteros 2/3, aquí está aproximadamente 2 enteros 2/3, así que este es el punto 8/3, 0. Déjame entonces graficar la recta, lo voy a hacer lo mejor posible, voy a usar también una línea punteada... aquí estoy haciendo mi mejor trabajo para hacer esta recta... aquí la tenemos. Y a simple vista, si lo calculamos a simple vista, vemos que el punto de intersección aquí cae en el punto 2, -1, 2 para la "x", -1 para la "y", este es el punto, aparentemente es una solución con números enteros pero es a simple vista, tenemos que verificarlo, esto es hecho a mano, no es tan preciso como debería de ser, entonces hay que verificar si el punto 2, -1 que obtuvimos aquí como punto de intersección satisface estas dos ecuaciones. Si el valor de "x" y "y" satisface ambas ecuaciones y por lo cual está en ambas gráficas. Sustituyendo entonces 2, -1 en esta primera ecuación, ¿qué tenemos? 5 por 2, más 3 por -1, esto es igual a 7, vamos a verificar eso, 5 por 2 es 10 más 3 por -1 es -3 y esto nos da igual a 7. Hemos verificado que este valor es efectivamente 7, así que 2, -1 definitivamente está sobre esa recta o satisface esa ecuación. Verifiquemos ahora en la otra ecuación. Aquí tenemos entonces que es 3 por 2 menos 2 por -1, ¿es esto igual a 8? Veamos, 3 por 2 es igual a 6, -2 por -1 es 2 positivo, ¿y es esto igual a 8? Sí, efectivamente 6 más 2 es igual a 8, hemos obtenido entonces que el punto 2, -1 se encuentra en ambas rectas, es decir satisface ambas ecuaciones, por lo cual hemos podido resolver el sistema de ecuaciones, graficándolo.