Avanza por ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustituición.
Trabajemos para resolver el sistema de ecuaciones:
y=2x        Ecuacin 1.oˊy = 2x ~~~~~~~~\gray{\text{Ecuación 1.}}
x+y=24        Ecuacin 2.oˊx + y = 24 ~~~~~~~~\gray{\text{Ecuación 2.}}
Lo complicado es que hay dos variables, xx y yy. Si tan solo pudiéramos deshacernos de una de ellas...
¡Aquí hay una idea! La ecuación 11 establece que 2x\goldD{2x} y y\goldD y son iguales. Así, sustituyamos 2x\goldD{2x} en vez de y\goldD y en la ecuación 22 para deshacernos de la variable yy:
x+y=24Ecuacin 2.oˊx+2x=24Sustituye 2x en vez de y.\begin{aligned} x + \goldD y &= 24 &\gray{\text{Ecuación 2.}} \\\\ x + \goldD{2x} &= 24 &\gray{\text{Sustituye 2x en vez de y.}}\end{aligned}
¡Es brillante! Ahora tenemos una ecuación que solo tiene la variable xx, y que sabemos cómo resolver:
¡Excelente! Ya sabemos que xx es igual a 88. Pero recuerda que estamos buscando un par ordenado. También necesitamos el valor de yy. Usemos la primera ecuación para determinar yy cuando xx es igual a 88:
y=2xEcuacin 1.oˊy=2(8)Sustituye 8 en vez de x.y=16\begin{aligned} y &= 2\blueD x &\gray{\text{Ecuación 1.}} \\\\ y &= 2(\blueD8) &\gray{\text{Sustituye 8 en vez de x.}}\\\\ \greenD y &\greenD= \greenD{16}\end{aligned}
¡Fantástico! Entonces la solución del sistema de ecuaciones es (8,16)(\blueD8, \greenD{16}). Siempre es una buena idea verificar la solución por medio de las ecuaciones, solo para estar seguros.
Revisemos la primera ecuación:
Revisemos la segunda ecuación:
¡Muy bien! El par (8,16)(\blueD8, \greenD{16}) ciertamente es una solución. No debimos haber cometido errores.
Es tu turno de resolver un sistema de ecuaciones por medio del método de sustitución.
Utiliza el método de sustitución para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
4x+y=284x + y = 28
y=3xy = 3x
x=x =
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 66
  • una fracción propia simplificada, como 3/53/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/47/4
  • un número mixto, como 1 3/41\ 3/4
  • un decimal exacto, como 0.750.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} o 2/3 pi2/3\ \text{pi}
y=y =
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 66
  • una fracción propia simplificada, como 3/53/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/47/4
  • un número mixto, como 1 3/41\ 3/4
  • un decimal exacto, como 0.750.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} o 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Ahora despejemos yy:
La solución:
x=4x = 4
y=12y = 12

Encontrar una variable primero y luego sustituir

A veces el método de sustitución es un poco más complicado. Aquí hay otro sistema de ecuaciones:
3x+y=9       Ecuacin 1.oˊ-3x + y = -9~~~~~~~ \gray{\text{Ecuación 1.}}
5x+4y=32       Ecuacin 2.oˊ5x + 4y = 32~~~~~~~ \gray{\text{Ecuación 2.}}
Observa que ninguna de estas ecuaciones está resuelta para xx o yy. Como consecuencia, primero hay que resolver para xx o yy. Así es cómo hace:
Paso 1: resuelve alguna de las ecuaciones para alguna de las variables.
Resolvamos la primera ecuación para yy:
3x+y=9Ecuacin 1.oˊ3x+y+3x=9+3xSuma 3x a cada lado.y=9+3x\begin{aligned} -3x + y &= -9 &\gray{\text{Ecuación 1.}} \\\\ -3x + y + \maroonD{3x} &= -9 +\maroonD{3x} &\gray{\text{Suma 3x a cada lado.}} \\\\ y &= {-9 +3x} &\gray{\text{}}\end{aligned}
Paso 2: sustituye el resultado en la otra ecuación y resuelve para xx.
5x+4y=32Ecuacin 2.oˊ5x+4(9+3x)=32Sustituye -9 + 3x en vez de y.5x36+12x=3217x36=3217x=68x=4Divide cada lado entre 17.\begin{aligned} 5x + 4\goldD y &= 32 &\gray{\text{Ecuación 2.}} \\\\ 5x +4(\goldD{-9 + 3x}) &= 32 &\gray{\text{Sustituye -9 + 3x en vez de y.}} \\\\ 5x -36 +12x &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x - 36 &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x &= 68 &\gray{\text{}} \\\\ \blueD x &\blueD= \blueD4 &\gray{\text{Divide cada lado entre 17.}}\end{aligned}
Paso 3: Sustituye x=4x = 4 en alguna de las ecuaciones originales y despeja yy.
3x+y=9La primera ecuacin.oˊ3(4)+y=9Sustituye 4 en vez de x.12+y=9y=3Suma 12 a cada lado.\begin{aligned} -3\blueD x + y &= -9 &\gray{\text{La primera ecuación.}} \\\\ -3(\blueD{4}) +y &= -9 &\gray{\text{Sustituye 4 en vez de x.}} \\\\ -12 + y &= -9 &\gray{\text{}} \\\\ \greenD y &\greenD= \greenD3 &\gray{\text{Suma 12 a cada lado.}} \end{aligned}
Por lo que la solución es (4,3)(\blueD4, \greenD 3).
Revisemos la primera ecuación:
Revisemos la segunda ecuación:
¡Muy bien! El par (4,3)(\blueD4, \greenD 3) ciertamente es una solución. No debimos haber cometido errores.

¡Practiquemos!

1) Utiliza el método de sustitución para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
2x3y=52x - 3y = -5
y=x1y = x - 1
x=x =
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 66
  • una fracción propia simplificada, como 3/53/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/47/4
  • un número mixto, como 1 3/41\ 3/4
  • un decimal exacto, como 0.750.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} o 2/3 pi2/3\ \text{pi}
y=y =
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 66
  • una fracción propia simplificada, como 3/53/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/47/4
  • un número mixto, como 1 3/41\ 3/4
  • un decimal exacto, como 0.750.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} o 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Ahora despejemos yy:
La solución:
x=8x = 8
y=7y = 7
2) Utiliza el método de sustitución para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
7x2y=13-7x - 2y = -13
x2y=11x - 2y = 11
x=x =
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 66
  • una fracción propia simplificada, como 3/53/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/47/4
  • un número mixto, como 1 3/41\ 3/4
  • un decimal exacto, como 0.750.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} o 2/3 pi2/3\ \text{pi}
y=y =
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 66
  • una fracción propia simplificada, como 3/53/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/47/4
  • un número mixto, como 1 3/41\ 3/4
  • un decimal exacto, como 0.750.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} o 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Resolvamos la segunda ecuación para xx:
x2y=11x=11+2y\begin{aligned} x - 2y &= 11\\\\ x&= 11 + 2y\end{aligned}
Sustituyamos el resultado en la primera ecuación:
Ahora despejemos xx:
La solución:
x=3x = 3
y=4y = -4
3) Utiliza el método de sustitución para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
3x4y=2-3x - 4y = 2
5=5x+5y-5 = 5x + 5y
x=x =
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 66
  • una fracción propia simplificada, como 3/53/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/47/4
  • un número mixto, como 1 3/41\ 3/4
  • un decimal exacto, como 0.750.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} o 2/3 pi2/3\ \text{pi}
y=y =
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 66
  • una fracción propia simplificada, como 3/53/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/47/4
  • un número mixto, como 1 3/41\ 3/4
  • un decimal exacto, como 0.750.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} o 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Resolvamos la segunda ecuación para xx:
5=5x+5y1=x+yDivide entre 5.x=1y\begin{aligned} -5 &= 5x+5y\\\\ -1 &= x+y &\gray{\text{Divide entre 5.}}\\\\ x&= -1 - y\end{aligned}
Sustituyamos el resultado en la primera ecuación:
Ahora despejemos xx:
La solución:
x=2x = -2
y=1y = 1