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8.º grado

Curso: 8.º grado > Unidad 6

Lección 3: Rotaciones
Matemáticas
8.º grado
Transformaciones geométricas
Rotaciones
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Determinar rotaciones

Google Classroom
Aprende a determinar qué rotación hace que una figura dada se lleve a otra figura dada.
Hay dos propiedades en cada rotación: el centro y el ángulo.

Determinar el centro de rotación

Las rotaciones preservan distancia, así que el centro de rotación debe ser equidistante al punto P y a su imagen P′. Eso significa que el centro de rotación debe estar en la bisectriz perpendicular a PP′―.
El punto P y el punto P prima son equidistantes del eje de reflexión. Hay 4 puntos marcados en el eje de reflexión. El segmento de P a cada punto marcado es congruente con el segmento correspondiente del punto P prima al mismo punto.
Si tomamos los segmentos que conectan cada punto de la imagen al punto correspondiente en la pre-imagen, el centro de rotación está en la intersección de las bisectrices perpendiculares a todos esos segmentos.

Ejemplo

Determinemos el centro de la rotación que mapea △ABC a △A′B′C′.
Un triángulo preimagen A B C y su imagen A prima B prima C prima. Para el triángulo preimagen, el vértice A está a las siete en punto, el vértice B está aproximadamente a las doce en punto y el vértice C está aproximadamente a las tres en punto. Para el triángulo imagen, el vértice A prima está a las dos en punto, el vértice B prima está a las siete en punto y el vértice C prima se encuentra a las diez en punto.
El centro de rotación debe estar en la bisectriz perpendicular a AA′―
Un triángulo preimagen A B C y su imagen A prima B prima C prima. Para el triángulo preimagen, el vértice A está a las siete en punto, el vértice B está aproximadamente a las doce en punto y el vértice C está aproximadamente a las tres en punto. Para el triángulo imagen, el vértice A prima está a las dos en punto, el vértice B prima está a las siete en punto y el vértice C prima se encuentra a las diez en punto. Un segmento de recta sólido tiene extremos del vértice A al vértice A prima. Una línea punteada biseca la recta sólida formando un ángulo de noventa grados.
El centro de rotación también debe estar en la bisectriz perpendicular a BB′―.
También podemos verificar la bisectriz perpendicular a CC′―, pero no necesitamos hacerlo. Como todas las bisectrices se intersecan en el mismo punto, verificar dos es suficiente.
Un triángulo preimagen A B C y su imagen A prima B prima C prima. Para el triángulo preimagen, el vértice A está a las siete en punto, el vértice B está aproximadamente a las doce en punto y el vértice C está aproximadamente a las tres en punto. Para el triángulo imagen, el vértice A prima está a las dos en punto, el vértice B prima está a las siete en punto y el vértice C prima se encuentra a las diez en punto. Un segmento de recta sólido tiene extremos desde el vértice A hasta el vértice A prima. Una línea punteada biseca la recta sólida y forma un ángulo de noventa grados. Otro segmento de recta sólido tiene extremos en el vértice B y el vértice B prima. Una línea punteada biseca este segmento de recta sólido en un ángulo de noventa grados. Un tercer segmento de recta sólido tiene extremos en el vértice C y el vértice C prima. Una tercera línea punteada biseca este segmento de recta en un ángulo de noventa grados. Se ha colocado un punto donde le intersecan las tres rectas punteadas.

¡Intentémoslo!

Problema 1.1
△A′B′C′ es la imagen de △ABC después de una rotación.
Se ha rotado el triángulo ABC para formar el triángulo A prima, B prima, C prima. El punto N es más cercano al punto B que el punto B prima. El punto P es más cercano al punto A prima que el punto A. El punto M es más cercano al punto A prima que el punto A, pero no tan cercano como el punto P. El punto Q es equidistante del punto B y el punto B prima.
¿Cuál punto es el centro de rotación?
Escoge 1 respuesta:

Determinar el ángulo de rotación

Una vez que hemos encontrado el centro de rotación, tenemos varias opciones para determinar el ángulo de rotación.
Finalmente, debemos determinar si la rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj, con un ángulo positivo de rotación, o en sentido de las manecillas, con un ángulo negativo de rotación.

Ejemplo

Estimemos el centro de la rotación que mapea △ABC a △A′B′C′ alrededor del punto P.
Se ha rotado el triángulo ABC alrededor del punto P para formar el triángulo A prima, B prima, C prima. El punto b está aproximadamente a las doce en punto en relación con el punto P. El punto B prima está aproximadamente a las siete en punto en relación con el punto P.
Podemos comparar m∠APA′ con ángulos de referencia.
Se ha rotado el triángulo ABC alrededor del punto p para formar el triángulo A prima, b prima, C prima. Ambos triángulos se han dibujado en un compás circular. El ángulo A P A prima está etiquetado y la medida del ángulo es más cercana a ochenta grados que a noventa grados.
La medida del ángulo está un poco más cerca de 180° que de 90°. Podemos dividir el círculo en más partes iguales para obtener una estimación más cercana.
Se ha rotado el triángulo ABC alrededor del punto P para formar el triángulo A prima, b prima, C prima. Ambos triángulos se han dibujado en un compás circular. El ángulo A P A prima está etiquetado y el ángulo está aproximadamente entre ciento treinta y cinco grados y ciento ochenta grados.
Podemos estimar que el ángulo está entre 150° y 160°, pero tendríamos que medir para estar seguros.
También pudimos haber medido en el sentido de las manecillas, pero entonces debemos utilizar una medida negativa. Vamos un poco más de media vuelta en el sentido de las manecillas, así que podemos estimar que la medida del ángulo es alrededor de −200°.

¡Intentémoslo!

Problema 2.1
El triángulo △A′B′C′ es la imagen de △ABC después de una rotación alrededor del punto P.
Se muestra la preimagen de un triángulo A B C y la imagen de un triángulo A prima B prima C prima. El triángulo preimagen está encima del triángulo imagen. El vértice A está a las siete en punto. El vértice B está a la diez en punto. El vértice C está a las cinco en punto. El vértice A prima está a las cuatro en punto. B prima está a las siete en punto. C prima está a las dos en punto.
¿Cuál es la mejor estimación del ángulo de rotación?
Escoge 1 respuesta:

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