Factores de escala y área

nos dicen que el polígono q es una copia escala del polígono p usando un factor de escala de un medio a qué fracción del área del polígono p corresponde el área del polígono q pausa en el vídeo y traten de resolverlo mi mente trata de hacer esto un poco más tangible una vez que tengamos práctica podremos hacer esto sin necesidad de dibujos pero ahí nos hablan de polígonos arbitrarios p y q así que hagamos uno simple como estamos hablando de áreas me gustaría revisarlo con rectángulos porque es más fácil pensar en áreas de rectángulos vamos a ver el polígono q es una copia escala del polígono p así que comencemos con el polígono p y lo haré con rojo polígono p voy a crear un polígono arbitrario así que digamos que este es nuestro polígono y voy a crear una escala de un medio de modo que haré que sus lados tengan una medida cómoda de números pares digamos que este lado mide 4 y este lado es igual a 8 este es el polígono b es un cuadrilátero de hecho es un rectángulo y su área es igual a 4 por 8 que es igual a 32 ahora vamos a crear el polígono q y recuerden que el polígono q es una copia a escala del polígono p usando un factor de escala de un medio así que lo vamos a escalar a un medio de modo que este lado en lugar de medir 4 va a medir 2 y este lado correspondiente en la versión escala va a ser igual a 4 aquí lo tenemos lo hemos escalado a un medio y ahora cuál es el área bueno este es el polígono q nuestra área va a ser igual a 2 x 4 que es igual a 8 ahora fíjense que el área del polígono q es un cuarto del área del polígono p y eso tiene sentido porque cuando escalamos las dimensiones del polígono en un medio el área va a cambiar en un factor igual a esto al cuadrado un medio al cuadrado es igual a un cuarto de modo que el área cambió en un factor de un cuarto otra manera de responder esta pregunta es a qué fracción del área del polígono p corresponde el área del polígono q y la respuesta es un cuarto del área del polígono p y la gran conclusión aquí es que si escalas algo si escalas los lados de una figura en un medio cada uno el área va a ser igual al cuadrado de eso así que un medio al cuadrado es igual a un cuarto si la escala es igual a un tercio entonces el área va a estar escalada a un noveno si escalamos a dos entonces el área va a aumentar en un factor de cuatro hagamos otro ejemplo aquí nos dicen que el rectángulo n tiene un área de cinco unidades cuadradas jaime dibujo a una versión a escala del rectángulo n y la etiqueta como rectángulo p aquí lo tenemos esta es una versión a escala del rectángulo n que factor de escala uso jaime para dibujar el rectángulo p a partir del rectángulo n vamos a pensar en esto aquí nos dan el rectángulo p y vamos a pensar en sus dimensiones la altura es 1 2 3 4 5 altura igual a 5 y tiene 12 es 456 789 de ancho y el área es igual a 45 ahora el rectángulo n tiene un área de cinco unidades cuadradas vamos a escribir esto para ir del área de n al área de p estamos multiplicando por un factor de 9 si vamos de un área de cinco unidades cuadradas a 45 unidades cuadradas el área del rectángulo n es igual a 5 unidades cuadradas el área del rectángulo p que calculamos aquí es igual a 45 unidades cuadradas aumentó en un factor de 9 ahora cuál será el factor de escala si nuestra área aumentó en un factor de 9 bueno ya hablamos recientemente de la idea de que el factor en que aumenta el área es igual al cuadrado del factor de escala así que una forma de pensar en esto es decir el factor de escala al cuadrado es igual a 9 otra manera de pensar en esto es nuestro factor de escala es igual a 3 para ir de n ahora vamos a verificar que respondimos la pregunta vamos a dibujar un rectángulo a partir del cual si lo escalamos en un factor de 3 obtenemos el rectángulo p de modo que su base es igual a 3 en lugar de 9 la base es algo así y la altura en lugar de ser 5 será 5 tercios la altura será algo así se ve parecido a esto 5 tercios nuestro rectángulo n se ve así y cuál es el área bueno 5 tercios x 3 es sin duda igual a 5 unidades cuadradas fíjense en esto cuando el área aumenta en un factor de 9 el factor de escala de los lados es igual a 3 para ir de 5 tercios a 5 multiplicas por 3 y para ir de 3 a 9 multiplicas por 3 y terminamos