Ejemplo resuelto: resolver proporciones

Resuelve la proporción. 8 entre 36 es igual a 10 ¿entre cuánto? o bien, 8 entre 36 es igual a 10 ¿a cuánto? Hay varias formas de resolver este problema, vamos a ver 4 de ellas. La que te guste más, esa la puedes utilizar para resolver este tipo de problemas. Entonces, la primera dice lo siguiente, vamos a fijarnos, ¿en cuánto se tuvo que multiplicar el numerador para pasar de ser 8 a ser 10? Como son fracciones equivalentes, el denominador también se tuvo que haber multiplicado por eso mismo. Bueno, si empezamos con 8 y llegamos a 10, pudimos haber multiplicado por 10 entre 8, verdad... lo voy a poner por acá, si hacemos 8 por 1 0 entre 8 definitivamente llegamos a 10. Entonces estamos multiplicando por 10 entre 8, pero 10 entre 8 es exactamente lo mismo que 5 entre 4, simplemente simplificamos, 10 entre 2 es 5, 8 entre 2 es 4. Entonces estamos multiplicando el numerador por 5/4, así para obtener una expresión equivalente el denominador también lo tenemos que multiplicar por 5/4 y eso nos da una forma de encontrar el valor de "n". "n" es igual a 36 multiplicado por 5, por 5/4. Y aquí podemos efectuar las operaciones, esto de aquí es igual a 36 por 5 dividido entre 4, 36 entre 4 es 9 y 9 por 5 es 45, así que ésta es una forma de obtener que el valor de "n" es igual a 45. Una segunda forma es la siguiente, ahora podemos fijarnos en cuanto se tuvo que multiplicar este numerador para llegar a este denominador y ahí tendría que multiplicarse por 36 entre 8... por 36 entre 8 y notemos que 36 entre 8 es lo mismo que... vamos a simplificarlo dividiendo el numerador y el denominador entre 4, 36 entre 4 es 9 y 8 entre 4 es 2, entonces el numerador se multiplicó por 9/2... por 9/2 para llegar al denominador. Así que aquí también debemos de multiplicar el numerador por 9/2 para realmente tener una fracción equivalente, sale... entonces deja lo pongo por acá en algún lado... multipliqué 8... 8 por 9/2... 9/2 para llegar a 36, así que ahora debo multiplicar 10... 10 por 9/2... por 9/2 para llegar a "n". Bueno, aquí nos quedaría 10 por 9 dividido entre 2... entre 2, 10 entre 2 es 5 y 5 por 9 es 45, así que esa es otra forma de obtener que "n" es igual a 45. Muy bien, otra forma de resolver este problema es multiplicar cruzado, ahorita te digo qué quiere decir multiplicar cruzado, primero déjame decirte que a mi no me gusta mucho, porque es una cosa muy algorítmica, es decir, es un procedimiento que aveces no explican porque funciona, pero bueno, vamos a ver en que consiste. Multiplicar cruzado es lo siguiente, si tenemos 2 fracciones iguales... déjame poner aquí las fracciones otra vez... voy a ponerle 8 entre 36... 8 entre 36 Ces igual a 10 entre "n"... 10 entre "n", ok. Entonces si tenemos dos fracciones iguales podemos multiplicar este numerador con este denominador y eso va a ser igual a este numerador por este denominador... lo voy a hacer con colores... este numerador por este denominador, o sea "8n" es igual a este numerador por este denominador, o sea, a 36 por 10. Déjame realizar aquí algunas operaciones, entonces tenemos que "8n" es igual a 36 por 10, o sea 360, Esto parece un poco como magia, pero en realidad está justificado en algo de álgebra que ahorita vamos a ver. Entonces vamos a seguir con este procedimiento. Imagínate que ya sabemos que "8n" es igual a 360, entonces, ¿cuál tendría que ser el valor de "n"? ¿por cuánto tenemos que multiplicar 8 para llegar a 360? Bueno, pues podemos dividir ambos lados de esta igualdad entre 8, si ésta es una igualdad, le tenemos que hacer lo mismo a ambos lados para que se preserve la igualdad, entonces si aquí dividido entre 8, aquí también tengo que dividir entre 8... "8n" entre 8, me queda simplemente "n" y de esta forma "n" es igual a 360 entre 8. Este argumento es un poco algebraico, pero pudimos haberlo hecho de otra forma, nosotros queríamos encontrar, 8 por cuánto era igual a 360, bueno, pues definitivamente 8 por 360 entre 8 es igual a 360, verdad, entonces este numerito "n" debe de ser 360 entre 8. Vamos a ver eso cuánto es realizando la división de casita. Entonces lo voy a hacer por aquí, 360 dividido entre 8, 8 cabe en 36 cuatro veces, 4 por 8 es 32, aquí restamos, 36 menos 32 es 4, baja el 0, 5 por 8 es exactamente 40, aquí le pongo 5, 5 por 8 es 40, restamos y no queda residuo. Entonces una vez más nos queda que el valor de "n" es igual a 45. Y vamos a la última forma de resolverlo, la última forma utiliza un poco de álgebra, así que a lo mejor los argumentos te parezcan un poco extraños porque estamos en la lista de reproducción de proporciones, pero bueno, es padre que te lo cuente porque así vas a poder entender un poco mejor de donde sale esto de la multiplicación cruzada, de... de eso... multiplicar cruzado. Bueno, si no entiendes o se te hace un poco extraño no te preocupes, cuando aprendas un poco más de álgebra le vas a entender mejor, pero vamos a hacerlo. Entonces la proporción que tenemos es 8 entre 36... 8 entre 36 es igual a 10 entre "n", lo que vamos a hacer aquí es despejar "n" y para despejar "n", conviene que quede en el numerador, así que voy a empezar multiplicando por "n" ambos lados de esta igualdad, si multiplico por "n" de un lado, debo multiplicar por "n" del otro para que se preserve la igualdad, aquí esta "n" se cancela con esta "n" y me queda que 8 entre 36 multiplicado por "n"... 8 entre 36 multiplicado por "n" es igual a 10... igual a 10. Y ahora debo despejar "n", así que debo deshacerme de este término y para eso voy a multiplicar por 36 , entre 8, si multiplico por 36 entre 8 del lado izquierdo, también debo de multiplicar por 36 entre 8 del lado derecho, para preservar la igualdad, aquí a la izquierda 36 se cancela con 36, 8 con 8 y me queda simplemente que "n"... "n" es igual a 10 por 36 entre 8, o sea, a 36 por 10 dividido entre 8. Y esto es exactamente lo mismo que obtuvimos aquí a la izquierda, simplemente 36 por 10 es 360, entonces "n" es igual a 360 dividido entre 8 y esto ayuda a entender mucho mejor de donde viene la multiplicación cruzada. La "n" la pasamos multiplicando, pero eso realmente es multiplicar por "n" de ambos el 36 también lo pasamos multiplicando, pero eso fue lo que hicimos aquí, cuando multiplicamos por 36 en el numerador de este lado y de este lado. Y luego el 8 aquí lo pasamos dividiendo, dividimos entre 8 de ambos lados que fue este entre 8 que quedó aquí, aquí entre 8 y aquí entre 8. Bueno, entonces "n" también nos queda 360 entre 8, de modo que "n" una vez más es igual a 45. Bueno, aquí tienes 4 formas de resolver un mismo problema, siempre nos quedó que el valor de "n" es igual a 45 y bueno, depende de cual prefieras o cual se te haga más sencilla para que utilices esa en tus problemas, creo que las más sencillas son ver en cuanto cambio el numerador y utilizar la técnica de multiplicación cruzada.