El teorema fundamental de la aritmética

imagina que estamos viviendo en tiempos prehistóricos ahora considera lo siguiente como hicimos para darle seguimiento al tiempo sin reloj todos los relojes están basados en un patrón repetitivo que divide el truco del tiempo en segmentos iguales para encontrar estos patrones repetitivos miramos hacia los cielos lo más obvio es que el sol sale y se mete cada día sin embargo para darle seguimiento a periodos de tiempo más largos miramos ciclos más largos para esto observamos la luna que parece crecer y encogerse gradualmente durante muchos días cuando contamos el número de días entre lunas llenas llegamos al número 29 este es el origen de un mes sin embargo si intentamos dividir 29 en partes iguales nos encontramos con un problema es imposible la única forma de dividir 29 en partes iguales es descomponerlo en unidades 29 es un número primo puedes pensarlo como irrompible si un número puede descomponerse en partes iguales mayores que 1 lo llamamos entonces número compuesto ahora si somos curiosos podemos preguntarnos cuántos números primos hay y qué tan grandes se vuelven empecemos dividiendo todos los números en dos categorías en list hemos los números primos a la izquierda y los números compuestos a la derecha al principio parece que bailan hacia adelante y hacia atrás no hay un patrón obvio por aquí así que veamos una técnica más sofisticada para ver el panorama general el truco es usar la espiral de un lado primero enlistamos todos los números posibles en orden en una espiral creciente después coloreados todos los números primos en azul finalmente alejamos la imagen para ver millones de números este es el patrón de números que sigue y sigue por siempre increíblemente la estructura completa de este patrón todavía está sin resolverse así que vayamos rápido alrededor del año 300 antes de cristo a la antigua grecia un filósofo conocido como euclides de alejandría entendió que todos los números pueden separarse en estas dos categorías distintas comenzó a darse cuenta de que cualquier número puede dividirse una y otra vez hasta llegar a un grupo de números iguales pero más pequeños por definición estos números más pequeños son siempre números primos es decir él sabía que de alguna forma todos los números se construyen con números primos más pequeños para ser claros imagina el universo de todos los números e ignora los números primos ahora toma cualquier número compuesto descompongo y siempre terminarás con números primos euclides sabía que todo número se puede expresar usando un grupo de números primos más pequeños piensa en estos como bloques de construcción no importa qué número elijas siempre puedes construirlo como una suma de números primos más pequeños esta es la raíz de su descubrimiento conocido como el teorema fundamental de la aritmética toma cualquier número supongamos 30 y encuentra todos los números primos que lo dividen en partes iguales a esto se le conoce como factorización esto nos dará a los factores primos en este caso 2 3 y 5 son los factores primos de 30 euclides se dio cuenta de que entonces podría multiplicar estos factores primos una cantidad específica de veces para construir el número original en este caso puedes multiplicar cada factor una sola vez para construir al 32 por 3 por 5 es la factorización en números primos de 30 puedes pensarlo como una llave especial no existe otra forma de construir 30 multiplicando entre sí otros grupos de números primos así que cada número tiene una y sólo una factorización en números primos una buena analogía es pensar que cada número tiene un candado distinto y la llave única para cada candado es su factorización en números primos no hay dos llaves para un candado y no hay dos números que compartan la misma factorización en números primos