Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:7:58

Transcripción del video

en este vídeo pensaremos en el teorema del valor extremo que como veremos es un poquito más de sentido común que de cualquier otra cosa pero en todos estos temas siempre es muy divertido pensar en cómo están anunciados y porque están anunciados de esa forma y eso nos dará mucha más intuición al respecto entonces lo que dice el teorema del valor extremo así se llama teorema del valor extremo nos dice buenos considérate primero una función efe que sea continua muy bien tienes una función continua pero debe ser continua en un intervalo cerrado a como b y cuando decimos un intervalo cerrado a como avei que por eso ponemos estos corchetes estamos diciendo que estamos incluyendo a yahvé en este conjunto muy bien entonces tomando una función continua en el intervalo cerrado podemos garantizar que existen valores máximos y un bueno existen valores hay un máximo y mínimo absolutos valores máximo y mínimo absolutos muy bien y por supuesto estos valores son máximo y mínimo absolutos df en nuestro intervalo cerrado a coma de muy bien entonces qué es lo que quiere decir esto esencialmente pensemos en en hacer un dibujo y vamos ahí tenemos el eje en el eje x muy bien y aquí voy a pintar una gráfica digamos que por aquí andea y digamos que el valor de a es muy bien aquí está cuánto vale efe cda digamos que por aquí anda ve y que esto vale efe db muy bien ahí está esto es lo que vale efe db muy bien entonces la idea es pintar la gráfica de esta función continúa que que en realidad va a ser bastante arbitraria pero debe ser continua entonces por ejemplo puede ser algo así algo así luego baja muy bien entonces tenemos en esta gráfica de la función continua y bueno en realidad lo que estamos diciendo es que podemos encontrar podemos encontrar un máximo y un mínimo absoluto es decir aquí está nuestro mínimo absoluto no hay un valor más chico que ese muy bien entonces este es el valor más chico fdc para algún c y el otro nos dice que va a haber un valor máximo absoluto es decir no va a haber nadie en el intervalo ave que bajo la función sea más grande que este valor muy bien entonces aquí existe un de el otro digamos era c&c es el mínimo absoluto de la función y de es el máximo absoluto entonces en realidad cómo podemos reescribir este teorema es de la siguiente forma podemos garantizar que existen se y de elementos de nuestro intervalo a coma de muy bien tales que tales que que cumple que fcc es el valor más chico entonces es menor o igual que efe de x verdad donde x puede ser cualquier valor de este intervalo pero al mismo tiempo cualquier valor que toman la función en este intervalo debe ser menor o igual que nuestro máximo absoluto muy bien entonces esto es para todo y para todo punto equis en nuestro intervalo cerrado a coma de esto es digamos el teorema del valor extremo ya expresado en términos matemáticos entonces nuevamente nos dice que podemos encontrar dos valores uno en donde va a alcanzar el mínimo absoluto quiere sir que la función no puede ser más chico que ese valor y además va a encontrar o vamos a poder encontrar otro valor de en este intervalo tal que la función en ese punto no puede más bien alcanza su máximo ya no puede alcanzar un valor más grande muy bien y realmente esto sirve para cualquier gráfica de una función continúa muy bien aquí por ejemplo éste en realidad aquí estaba efe de a verdad esto valida de fedea pero puedes tú imagínate cualquier tipo de función por ejemplo podríamos pintar una línea recta verdad y ahí de todos modos vamos a poder encontrar un mínimo y un máximo puede ser incluso pensar en una función constante puedes pensar en una función constante en donde el mínimo se alcance en cualquier punto hay de hecho hasta acá hasta acá llega de verdad entonces esto llega hasta acá entonces realmente no nos dice cuántos puntos máximos absolutos ni cuántos mínimos absolutos tiene tampoco nos dice si hay un número digamos finito o si hay una infinidad de sus valores pero al menos garantizamos su existencia y este teorema no lo voy a demostrar pero vamos a tratar de familiarizarnos muy bien entonces con estos ejemplos tenemos ya al menos tres figuritas en donde es una función continúa y vemos donde se alcanza el mínimo y el máximo en la función constante por ejemplo puede ser en cualquier lado ok entonces lo que te invito es ahorita que hagas tú una pausa y traté de pensar en una función que no sea continua es decir vamos a tratar de ver porque nos piden que sea continua así que piensa en una función continua más bien que no sea continua en un intervalo cerrado y que por lo tanto no haya valores máximo y mínimo key entonces por ejemplo podemos pensar en este siguiente ejemplo digamos vamos a pintar nuestros ejes ahí está el eje x y elegí muy bien y no sé podríamos poner digamos que aquí está el ay cómo lo estamos incluyendo porque era un intervalo cerrado entonces vamos a ponerlo así digamos que esta función va subiendo va subiendo va subiendo pero justo donde va a alcanzar su valor máximo a y no va a estar definida tiene un agujero y luego va a bajar va a bajar va a bajar y dónde va a tener su valor mínimo tiene un agujero muy bien y vuelve a subir entonces por qué podemos decir que éste no alcanza ni un máximo y un mínimo absoluto claramente ésta no es continua verdad tengo que despega del lápiz ong en mi caso la pluma para poder terminar de pintar la gráfica entonces por ejemplo para este valor para este valor para este valor nosotros sabemos que aquí no está definido pero si nos vamos aproximando a ese valor podemos ir alcanzando valores cada vez más altos pero nunca vamos a alcanzar el máximo porque ahí no está definido muy bien entonces es la idea de por qué cuando no es continua el teorema no siempre es cierto muy bien no siempre puede haber ocasiones en donde si ahora la otra pregunta es por qué nos piden que sea un intervalo cerrado qué pasaría si por ejemplo fuera un intervalo abierto entonces vamos a poner otro ejemplo en donde ahora aquí a no lo estamos considerando y tampoco ve y podríamos pensar en un ejemplo sencillo digamos una línea que llevamos una línea ahí lo tienen muy bien entonces mismo ejemplo que aquí el valor mínimo se toma en a muy bien entonces como nosotros no lo estamos considerando en el intervalo podemos aproximarnos tanto como queramos pero nunca vamos a llegar al valor mínimo tampoco al valor máximo verdad que es justo el que toma desde entonces nos podemos ir aproximando cada vez más pero nunca nunca llegar al valor máximo así que hasta cierto punto éste es un problema muy intuitivo y siempre es bueno saber por qué nos piden esas condiciones en las hipótesis del teorema