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Encontrar extremos relativos (criterio de la primera derivada)

Transcripción del video

en el video pasado realizamos esta gráfica de la función fx llegamos a una conclusión interesante de los máximos y los mínimos y como estaban relacionados con los puntos críticos entonces encontramos que se había un mínimo un mínimo mínimo o se había un máximo máximo de efe df en x igual a a entonces teníamos que a era un punto crítico a es punto punto crítico y este punto criticó el crítico es que su deriva del acero que o sea que fue primera era cero o bien efe primen a no estaba definida también vimos que al revés no necesariamente se vaya pero lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar un criterio adicional en términos de la derivada para ver cuándo un punto es mínimo o máximo ninguna de las dos entonces vamos a empezar con este punto que era el máximo global que se llamaba x 0 x 0 y vamos a ver cómo se comporta la derivada al pasar de antes de x 0 a después de extensa le entonces mira antes de x 0 que le suceda la derivada de la función es creciente la función es creciente verdad conforme vamos avanzando hacia la derecha crecemos entonces eso qué quiere decir eso quiere decir que la derivada es positiva en toda esta parte de acá también puedes dibujar las rectas tangentes y ver que tienen pendiente positiva para entonces antes del punto x 0 tenemos que f prima efe prima es mayor que 0 entonces la derivada es mayor que cero y por tanto la función es creciente o al revés ahora que sucede cruzando x 0 al cruz sáric y cero como éste adquiere un máximo entonces ahora la pendiente va a ser negativa verdad la derivada va a tener este un valor negativo entonces aquí tenemos que efe prima es menor que cero o en otras palabras que la función es decreciente entonces qué sucedió en este punto criticó que es x 0 dejaba escribir lo por acá vamos a ponerle que sucede en el máximo y voy a poner cuando a es máximo máximo sale a s punto crítico aquí a es igual aquí 03 cuando a es máximo que sucedió sucedió que la pendiente se dio que efe prima cambio de signo cambia de signo del signo de de que puede ser positiva a ser negativa entonces cambia de signo más a signo menos al cruzar al cruzar al cruzar a y entonces en este punto criticó a cambio de más a menos vamos a ver si nuestro criterio si tiene sentido por ejemplo vamos a ver qué sucede con este máximo global entonces aquí antes de este punto que se llamaba x2 déjame ponerle que espera que esté acá x1 y que éste pueda caer x3 pero antes de cruzar x 2 tenemos que la pendiente la pendiente es positiva verdad vamos para arriba la función es creciente y por tanto efe prima es mayor que 0 pero al cruzar este punto x 2 tenemos un cambio dijo es un cambio abrupto pero es un cambio a que la pendiente ahora se vuelve negativa aquí tenemos que efe prima es menor que cero y acá tenemos que efe prima que prima es mayor que ser entonces una vez más cambiamos de tener un signo positivo a tener un signo negativo en este punto que era un máximo local hasta ahorita todo va muy bien ahora también sería bueno verificar que este criterio no detectan como máximos puntos que no lo son por ejemplo este x3 que no era ni mínimo ni máximo que le sucede pues a ver aquí tenemos que la pendiente es negativa la función es decreciente y de hecho en todo este caso de acá es decreciente verdad y justo en x 13 a 0 entonces efe prima es menor que cero aquí acá y que sucede al cruzar x3 al crucerista es la función sigue siendo decreciente y por tanto la pendiente sigue siendo negativa muy bien entonces nuestro criterio al menos no no nos dio un falso positivo verdad no nos dijo que x3 fuera máximo sin que lo fuera entonces al parecer criterio está bueno ahorita no lo vamos a demostrar nada más es para darle la idea ahora vamos al punto mínimo cuando a es un mínimo y creo que puedes ver a dónde va esto verdad creo que puedes ver qué que va a suceder en este punto en x 1 ahora que sucede con las pendientes antes de x 1 antes x1 tenemos que la pendiente de las tangentes es menor que cero o sea que la derivada es negativa la función es decreciente si la función es decreciente y al cruzar x 1 ahora tenemos que la función empieza a crecer y justamente empieza a crecer porque si no esto de aquí no sería un mínimo verdad en el mínimo justo sucede que bajamos bajamos bajamos bajamos llegamos al mínimo y luego empieza a crecer entonces aquí efe primer major que 0 y antes de eso efe prima es menor que sea escribiendo en palabras eso lo que nos dice es que si tenemos un punto crítico entonces y bueno y ese punto crítico es un mínimo entonces efe prima cambia cambian de signo de signo menos asignó más al cruzada cruzan y bueno y además para verificar que si aguanta nuestro criterio vamos a ver qué sucede en el punto equis test aquí tendríamos que ver si no cambia de menos a más pero no verdad ya vimos que está en negativo y sigue siendo negativo y por tanto nuestro criterio pues ósea x3 no es un contra ejemplo para nuestro criterio entonces ya tenemos que sí es máximo cambio de más a menos y el mínimo cambio de menos a más en este punto x 3 no pasa ninguna de las dos cosas y entonces este punto x 3 no es mi máximo ni mínimo