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Transcripción del video

veremos si podemos usar todo lo que hemos aprendido acerca de diferenciación con creatividad los puntos mínimos y máximos y los puntos de inflexión para poder gráficas una función sin tener que usar una calculadora gráfica digamos que nuestra función fx es igual a 3 x a la cuarta potencia menos cuatro por equis al cubo +2 y por supuesto ustedes siempre pueden graficar una función enfocándose en los puntos que no son de interés para poder tener una forma general de la función sobre todo si nos enfocamos en las partes que podemos inferir de esta función usando nuestra caja de herramientas derivadas lo primero que queremos hacer es encontrar los puntos críticos aquí lo escribiré nuestros puntos críticos y para que recordemos a que se refiere este de puntos críticos se refiere a aquellos puntos en los que la derivada de fx 0 f prima de x igual a cero o no está definida o este indefinida esta función luce bastante diferenciable en todos sus términos así que los puntos críticos que nos interesan les puedo decir que definitivamente serán aquellos puntos en los que está efe prima de xe hacer este derivada de su prima de x estará definida durante todo el dominio así que vamos a comenzar a escribir la derivada de esta función la deriva de esto efe prima de x es algo bastante directo la derivada de 3 x x a la cuarta va a ser 3 x 4 12 por equis al cubo recordamos que incrementamos la potencia no lo multiplicamos la constante por el exponente y elevamos la variable al exponente menos una unidad menos tres por cuatro vuelve a ser 12 x x pero ahora es 3 - 12 y la deriva de una constante 'sr recordemos que aquí no hay ningún cambio es una constante entonces por eso su derivado su pendiente va a ser cero y ahora vamos a concentrarnos en los puntos críticos recordemos que los puntos críticos es cuando todo esto es sí el acero o está indefinido ahora puedo ver el dominio completo de los números enteros y me doy cuenta de que eso está definido en todas partes podemos poner cualquier número y nunca nos va a dar una indefinición siempre me va a dar un resultado o no que vamos a tener que encontrar en qué puntos esto es igual a cero así pues tenemos que encontrar para cuales valores de x está efe prima de x va a ser igual hacer o qué bueno esto lo escribiré extra no es necesario que se escriba esto lo voy a escribir e diferente color 12x al cubo - 12 x x al cuadrado es igual a cero qué valores de x me dan esta igualdad bueno qué podemos hacer para resolver esto pues podemos factorizar el 12 x factor izamos 12x esto lo sacamos ese término se vuelve x pero tendríamos que quitar el 12 x cuadrada de factor izamos 2x cuadrada y este término se convierte en x y éste es menos uno y todo esto es igual a hacer simplemente lo que hicimos fue actualizar sacar este término y si ustedes hacen operaciones multiplicar 12x cuadrada por x - sólo les va a dar esta función y esto lo hice para facilitar poder encontrar el punto o el valor o valores de x para los cuales todo esto es igual a hacer pues si encontramos todas las x que pueden hacer que este valor de toda esta ecuación sea igual a cero y para esto uno o ambos de estos términos tienen que ser igual hacer así que tenemos 12 x cuadrada igual a cero por lo que la x por fuerza tiene que ser igual a cero lo quería que todo se terminó fuera igual a cero y el otro valor que puede darnos esta ecuación igual a cero es con x menos uno igual a cero cuando x es igual a 1 estos son nuestros dos puntos críticos cuando x es igual a cero y cuando x es igual a 1 y recuerden que esos son los puntos en donde nuestra primera derivada es igual a cero donde la pendiente de ser podrían ser puntos máximos o puntos mínimos podrían ser punto de inflexión podría ser cualquier cosa no podemos saber mucho de ellos en este momento pero sí sabemos que son puntos de interés eso es lo único que podemos decir con certeza de esto es que son puntos de interés pero vamos a continuar para tratar de comprender la combatividad y así poder tener un sentido de esta gráfica así que vamos a calcular la segunda derivada la segunda derivada lo voy a hacer en otro color citó la segunda derivada de fx bueno es 12 por 336 por equis al cuadrado - 12 por 224 por equis ahora aquello par de cosas que podemos hacer ya que tenemos esta segunda derivada podemos responder la pregunta de si me gráfica es con cava hacia arriba o hacia abajo en cualquiera de estos puntos críticos recuerden que si es con cava hacia arriba o sea tendrá una forma de un si es con cava hacia abajo tendrá forma de una u invertida ahora vamos a evaluar estos puntos críticos en la función en nuestra segunda derivada así que la segunda derivada de efe en cero va a ser igual a qué bueno 36 por ser el cuadrado va a ser cero - 24 x 0 también va a ser cero así que esto va a ser cero así que no es ni con cabo hacia arriba y hacia abajo la función en este punto podría ser un punto de transición igual podría no serlo pero bueno estamos seguros todavía de qué se trata ahora vamos a evaluar la segunda derivada de efe cuando x es igual a 1 estos 36 por uno al cuadrado 36 por uno queda como 36 menos 24 x 1 que de 24 36 menos 24 así que 36 -24 va a ser igual a 12 y este es un valor positivo nuestra segunda derivada evaluada en uno es positiva o lo que significa que nuestra primera derivada la pendiente se incrementa el cambio es positivo así que en este punto tenemos una pendiente con cava hacia arriba lo que me dice que está probablemente sea un punto mínimo si la pendiente que cero y tenemos algo con cabo en ese punto lo que es bastante interesante y ahora vamos a buscar si tenemos algún otro punto potencial de infección ya sabemos que esto es un punto potencial de inflexión vamos a resaltar lo en rojo este es un punto potencial pero no sabemos si realmente hay una transición en la función en ese punto tenemos que experimentar un poquito más pero veamos si hay algún otro punto de inflexión y para esto vamos a ver si esta segunda derivada se vuelve cero en algunos puntos 36 cuadrada -24 igual hacer ahora vamos a factorizar el 2 x 12 x x 3 x 3 por 12 es 36 y x por xx cuadrada -2 y todos iban a hacer y vemos que estas dos expresiones son equivalentes y hacemos las multiplicaciones aquí en la segunda expresión veremos que es igual a la de arriba y para que esta expresión se cumplan esta parte de 12 x tiene que ser igual a cero en el punto en el que obviamente x tiene que ser igual a cero o sea en este punto cuando aquí es igual a cero todo esto vale hacer y bueno eso ya lo sabíamos desde antes y esa otra parte también si esto es igual a cero se cumpliría esa expresión vamos a resolver la 3 x menos dos igual a 0 3 x igual a 2 y x es igual a dos tercios este es otro punto de interés uno que no habíamos encontrado antes y éste podría ser un punto de inflexión y dijo que podría hacerlo porque en la segunda derivada es definitivamente 0 en este punto y ahora lo que tenemos que hacer es ver si está seguro derivada es positiva o negativa en ambos lados de este punto y ya tenemos más o menos una idea de esto podemos hacer pruebas con un par de números ya sabemos que si tomamos un valor de x que es más grande que dos tercios vamos a hacer un poquito de espacio aquí vamos a ver qué pasa cuando x es mayor que dos tercios mayor que dos tercios vuelva a ser el valor de efe prima de equis pero la segunda derivada de fbi que vamos a elegir un valor que esté bastante cercano pues para darnos una idea así que permítame reescribir la segunda derivada de fx es igual y permíteme escribirla de esta otra manera quizás es poquito más fácil de trabajar con ella que es igual a 12x por 3 x - cuando x es mayor que dos tercios este término de aquí va a ser positivo eso es algo definitivo cualquier número positivo x 12 va a dar otro número positivo pero qué pasa con esto termino de aquí tres por dos tercios - dos va a ser exactamente ser pero cualquier cosa ligeramente mayor que esa si yo tuviera 2.1 entre tres esto va a ser una cantidad positiva cualquier valor de x mayor a dos tercios aquí me va a dar otro número positivo y esto significa que cuando x es mayor que dos tercios la segunda derivada en ese valor va a ser positiva la segunda derivada de x que es mayor que cero y en nuestro dominio siempre y cuando xe mayor que dos tercios va a ser con cabo hacia arriba y aquí lo vemos que cuando x es igual a 1 la concavidad va a ser hacia arriba pero qué pasa cuando x es menor a dos tercios bueno ahora cuando x es menor vamos a escribir lo más abajo cuando x es menor que dos tercios vamos a recibir la expresión la segunda derivada de fx que es igual a 12x por 3 x menos dos buenos vemos que si tomamos un valor muy lejano esto vamos a tener un número negativo así que vamos a elegir un valor que esté muy pero muy cerca de este docente 3 que sea menor pero que ahora estemos en el dominio positiva si esto fuera por ejemplo no se 1.9 entre tres esto de que iba a ser positivo justo por debajo de los dos tercios esta parte de que iba a ser positiva pero que pasa en esta parte en esta parte de la cam bueno si esto es igual a dos tercios va a ser esta parte exactamente igual a cero pero cualquier cosa que sea menor a dos tercios por ejemplo tres por un tercio va a ser igual a 1 1 - 2 va a ser igual a menos unos se van a tener números negativos por lo que la segunda derivada cuando x es menor a dos tercios justo digamos que a la izquierda de estos dos tercios esto va a ser menor que cero ahora el hecho de que tengamos esa transición de algo menor a dos tercios que tiene una segunda derivada a negativa y que cuando tenemos algo mayor a dos tercios tenemos una segunda derivada positiva esto nos dice que justamente aquí tenemos un punto de inflexión punto de inflexión cuando x igual a dos tercios para nuestra funcionario estar aquí arriba y ahora tenemos otro punto candidato punto de inflexión y después ya estaremos listos para graficar quiero tener todos los puntos de inflexión el máximo y el mínimo y ya tenemos todos los elementos para calificar así que ahora vamos a ver si x igual a cero es un punto de inflexión sabemos que la segunda derivada valuada en cero va a ser igual a cero pero qué pasa antes y después de ser y para que no haya confusiones vamos a dibujar una línea separando estas ecuaciones cuando x es mayor que 0 que le va a pasar a la segunda derivada recordamos que esta segunda derivada es igual a 12 x x x 3 x - me gusta escribir de esta manera porque podemos descomponerlo en dos expresiones lineales las cuales podemos ver de manera independiente si son positivas o negativas cuando x es mayor que 0 estoy aquí va a ser algo positivo definitivamente y estoy aquí justo cuando estamos por encima del xv mayor a 0 tenemos que asegurarnos de estar bastante cerca de este valor digamos que este valor va a ser en punto 1 estamos muy muy cerca de cero así que si esto es punto 1 al multiplicarlo vamos a tener punto 3 - 2 ese va a ser un valor negativo así que cuando x está un poquito por encima de cero la segunda derivada va a ser negativa lo escribimos para acá la segunda derivada de x va a ser menor que ser la concavidad va a ir hacia abajo lo que tiene sentido porque en un punto vamos a llegar a una transición así que esto es consistente desde 0 hasta los dos tercios vamos a tener una concavidad hacia abajo y en dos tercios comenzaremos a tener una concavidad positiva y ahora vamos a ver qué pasa cuando x está justo por debajo de cero cuando x está apenas apenas por debajo de cero escribimos nuevamente nuestra segunda derivada de fx que es igual a 12x por 3 x menos dos si x fue igual a menos punto 0 1 o menos puntos 0 01 todo esto va a ser negativa este partir de aquí va a ser negativa ya que es un valor negativo por pequeño que sea que se multiplica por un 12 va a dar un valor negativo y esta otra parte que va a ser bueno tres por menos puntos 0 1 para será menos puntos 0 3 - 2 - 2.03 definitivamente vamos a tener un número negativo acá y si se resta de otro número se va a tener un número negativo pero qué pasa si multiplicó negativo con negativos pues va a pagar un número positivo por lo tanto cuando x es ligeramente menor que cero la segunda derivada va a ser positiva quizás esto pueda ser un poco confuso pero ahora ya tenemos todo lo necesario para hacer nuestra gráfica hacemos más espacio aquí abajo y sabemos que cuando x es igual a 1 cuando x es igual a 1 vamos a escribir la que arriba nosotros encontramos que cuando x es igual a 1 la pendiente es cero segunda derivada de efe en cero es igual hacer hoy una disculpa debí haber escrito esto como la pendiente es igual a cero y encontramos esto porque no es la primera para ser ahí encontramos nuestro punto crítico y sabemos que estamos trabajando con una función con cava hacia arriba en este punto con cava hacia arriba y eso nos dice que es un punto mínimo con cabo hacia arriba y de hechos podemos tener las coordenadas y hacer la gráfica real que es el punto de este vídeo efe de uno a que es igual de bueno vamos a ver nuestra función original tres por uno menos cuatro más dos o tres por uno a la cuarta menos cuatro por uno al cubo +23 menos cuatro más dos que es un número positivo nos queda uno si ustedes hacen operación verán que el resultado es uno así que el jefe de uno es igual a 1 ahora también sabemos que cuando x es igual a cero encontramos que la pendiente va a ser igual a cero pero también encontramos que este es un punto de inflexión la conca tividad cambia antes y después de este punto así que ese es un punto de inflexión punto de inflexión donde es cóncavo abajo de cero cuando x es menor que cero tenemos la concavidad hacia arriba nuestra segunda derivada es positiva y cuando x es mayor que cero nuestra concavidad va hacia abajo y no en toda la extensión de x mayor a 0 apple es arriba de 0 para seguir encontrando las coordenadas tenemos que encontrar cuál es el valor de efe en se quejó efe en cero es igual vemos nuestra ecuación 3 x 0 - 4 tercero más voz entonces nuestra f60 va a ser igual a 2 y finalmente tenemos el valor cuando x igual a dos tercios x es igual a dos tercios vamos a poner otro color el punto cuando x es igual a dos tercios encontramos que este es un punto de inflexión este fue un punto de inflexión la pendiente definitivamente no es ser vaca porque es un punto de inflexión y es uno de los puntos críticos y sabemos que vamos hacia abajo cuando x es menor a dos tercios nuestra concavidad va hacia abajo ap el menor que dos tercios y cuando x es apenas mayor que dos tercios nuestra concavidad vivimos aquí arriba cuando es poquito mayor que dos tercios encontramos que la segunda derivada es positiva así que va hacia arriba y una vez más vamos a encontrar cuál es el valor de efe cuando es igual a dos tercios y de hecho ni siquiera tenemos que hacer un cálculo complicado podemos hacer una gráfica muy buena con los puntos que ya tenemos ahora vamos a hacer una gráfica en general tenemos que buscar nuestros ejes aquí voy a dibujar mi punto cero 12.02 vamos a hacer en este color vamos a usar un color diferente un azul ahora voy a graficar mi punto 1,1 este punto de aquí va a ser un 1,1 ahí está la coordenada 1,1 y esta es la condena del 0,2 o y ahora tenemos cuando x igual a dos tercios nuestro punto de inflexión que va más o menos para cap dos tercios aunque no sabemos exactamente cuál es el valor de f de dos tercios en este punto verde ordenada dos tercios coma efe de dos tercios efe de dos tercios y ya que tenemos estos puntos especificados podemos proceder a hacer la gráfica sabemos que cuando x es igual a 1 la pendiente cero así que está plano aquí y después se viene una parte cóncava hacia abajo que luce más o menos así en ese intervalo donde se va elevando y sabemos que esto se eleva a partir de que x mayor a dos tercios vamos a ponerlo en otro color y sabemos que en el punto cuando x es igual a dos tercios tenemos una concavidad hacia arriba por eso dibuje esta forma de u cuando x es menor a dos tercios pero mayor a 0 la concavidad va hacia abajo déjeme dibujar lo mejor así en ese intervalo la pendiente va de clement ando como pueden ver aquí vamos comenzando con un punto que pendiente plan iba bajando bajando bajando hasta que llega al punto de inflexión donde va cambiando la pendiente y comienza a incrementarse de nuevo hasta que llegue al punto en el que se hace la concavidad hacia arriba y cuando x es menor que cero la concavidad va hacia arriba así que la gráfica luce más o menos así y también encontramos que cuando x es igual a cero tenemos un punto crítico aquí la gráfica la pendiente es la cndh es un punto de inflexión cuya pendiente también de ser y es luchar gráfica final después de todo ese trabajo pudimos usar nuestras habilidades en cálculo para encontrar todos estos puntos críticos estos puntos de interés puntos de inflexión para finalmente poder graficar esta función que presenta bastante densa y más o menos se vas a ver así si usted es la gráfica en con su calculadora