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Demostración de la regla de la potencia para la función de raíz cuadrada

Transcripción del video

me han pedido que haga la prueba de la derivada de la raíz cuadrada de x he pensado en hacer un vídeo de cómo se halla dicha fórmula de la derivada de la raíz cuadrada de conocemos la definición de una derivada es decir la derivada de la función raíz cuadrada de x es igual a igual no vamos a cambiar los colores para hacer esto más variado es igual al límite mientras belta x se aproxima a cero algunas personas les gusta utilizar más h tiende a cero en fin esto esto es irrelevante yo prefiero usar más delta x entonces la raíz cuadrada de x + delta x - - la raíz cuadrada de equis entre delta x todo lo anterior entre delta x ahora mismo cuando miro esto no veo demasiada posibilidad de resolverlo así que lo que vamos a hacer es multiplicar esta fracción por el conjugado de el numerador es decir vamos a multiplicar todo esto bueno déjenme escribirlo el límite cuando delta x tiende a cero sólo estoy copiando lo que teníamos arriba de la raíz cuadrada de x + delta x - la raíz de equis entre delta x y voy a multiplicar déjeme utilizar otro color por la raíz cuadrada de x + delta x más la raíz cuadrada de equis entre la raíz cuadrada de x + delta x más la raíz cuadrada de x esto es un número uno así que por supuesto puede multiplicar lo estamos pensando que x y delta x son distintos de ser entonces este es un número bien definido de hecho es uno y recordemos que multiplicar por 1 es como haber hecho nada real así que escribimos límite cuando delta x gent de acero y esta parte de la forma a - b por amas b déjeme escribirlo por acá abajo a más b por a menos ve es igual a la cuadrada - b cuadrada una diferencia de cuadrados así que vamos a utilizar esto en la expresión de acá arriba esto será igual al cuadrado de esta primera expresión que va a tomar el papel de la a esto simplemente es el cuadrado de la raíz cuadrada de x + delta x que es x + delta x - el cuadrado de esta segunda expresión que simplemente siguiendo la analogía va a ser el cuadrado de la raíz cuadrada de x que es x y todo esto sobre delta x por la raíz de x + delta x más la raíz de x ahora vamos a ver cómo simplificar lo tenemos una x y un - x así que esto se cancela y quedamos sólo con el numerador y el denominador tenemos delta x acá y delta x acá abajo así que dividimos entre este número y nos queda uno de este lado y uno de este otro lado así que esto nos queda el límite cuando delta x y en de acero espero tenga espacio para ponerlo de uno sobre y bueno esto sólo lo podemos hacer si pensamos que delta x es distinto de cero sólo se aproximase pero es distinto entonces decíamos la raíz de x + delta x más la raíz de x ahora podemos tomar directamente límite cuando delta x gent de hacer esto simplemente es sustituir así que esto es igual a 1 sobre la raíz cuadrada de x + delta x que se aproxima a cero y eso simplemente sustituir nada más la raíz cuadrada de x y esto es igual a 1 sobre dos veces la raíz cuadrada de x y eso también es igual a un medio de x a la menos un medio acabamos de probar que la deriva de a la potencia un medio es un medio de x elevado a la menos un medio y esto es consistente con nuestra fórmula general de la derivada de x elevada a una potencia digamos la deriva de a alá no disculpe no es ésa sino la deriva de x a la n va a ser n x a la n - 1 incluso cuando n es un medio que es el de este caso espero que haya sido satisfactorios no lo probé para todas las fracciones pero es un buen inicio es una muy común y espero no haya sido difícil de probar nos vemos en próximos videos