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Prueba de la regla de la potencia para potencias enteras positivas

Transcripción del video

acabamos de completar unos vídeos sobre el teorema del vino me pienso que ahora ya que los hemos terminado podemos hacer la prueba de la deriva de la forma general de las potencias de x esto es tomar la deriva de x a la n ahora ya que sabemos el teorema del binomio tenemos las herramientas para poder hacerlo como lo hacemos bueno empecemos con la definición clásica de derivada esto es el límite cuando delta x se aproxima a cero de la función evaluar en x + delta x - efe de equis entre delta x cierto entonces jefe de x en este caso es x + delta x a la n - la función evaluar en x que es x a la n-ii todo eso sobre de él está x ahora sabiendo el teorema del binomio podemos desarrollar esta expresión la expresión xmas de la x a la n si no sabes el teorema del binomio visita los otros videos en la lista de reproducción de precálculo y con el video del tema del vino mi por el teorema del binomio vamos a escribir lo haga bajo el límite cuando delta x y en de acero sólo estamos copiando lo que tenemos acá arriba desarrollando lo anterior nos va a dar x a la n quizá la n más las combinaciones de n en uno en uno de nuevo revisa el teorema del binomio si es que esto te parece un poco extraño las combinaciones de en en uno por equis a la n menos uno por delta x ahora como tercer término vamos a tener las combinaciones de en en 2002 por equis a la n menos dos reis por delta x al cuadrado luego tendremos más y más suman 2 y eso suman dos están dados por el teorema el binomio ahora por supuesto el último dígito que vamos a agregar será uno por en realidad serían las combinaciones de n en n ok nn por equis al acero en realidad es uno por delta x a la n es la expansión del tema del vino ahora volvamos a la parte amarilla lo único que nos falta es restar del lado derecho ekiza la n-ii todo eso dividirlos sobre delta x sobre delta x vamos a ver qué tanto podemos simplificar lo primero no tenemos que tenemos estos dos equis a la n que se pueden cancelan muy bien y ahora si nos fijamos en todos los términos de arriba no tenemos que tienen un factor delta x el cual podemos dividirlo entre el delta x que tenemos en el denominador esto será lo mismo entonces qué vamos a escribir lo completó que limite límite cuando delta x se aproxima a cero ok lo que vamos a hacer es dividir la parte del numerador entre el delta x del denominador lo cual nos da n combinaciones en uno por ekiza la en el -1 por del tec y sobre delta x que es simplemente uno más en combinaciones en 2 x x a la n menos dos por delta x al cuadrado entre delta x lo cual nos da simplemente un delta x de este lado y así tendremos la división de varios suman dos de la parte de arriba entre delta x y finalmente lo que nos queda serã n combinaciones en n n combinaciones n por equis al acero que son así que no vamos a prestarle atención por delta x a la n menos uno que es delta x sala n entre delta x entonces hacemos ahora ahora tomamos el límite cuando delta x tiende a hacer como delta x tiende a cero entonces cada uno de los sumandos que tienen como factor a delta x van a hacerse 0 y el único que no va a desaparecer en esta suma será el primer término si todos esos humanos nos dan ceros y nos quedamos únicamente con este primer término entonces lo que nos queda es lo siguiente las combinaciones de n en uno por ekiza la n menos uno y quién es eso cuáles son las combinaciones de en en uno bueno eso es n factorial entre 1 factorial por n -1 factorial key eso lo multiplicamos por equis allen - 1 ahora uno factorial es 1 y n factorial entre -1 factorial bueno piénsalo de esta forma siete factorial en 36 factorial nos a 710 factorial entre 9 factorial nos da 10 entonces n factorial dividido entre -1 factorial en realidad sólo es n y esto lo va a multiplicar a ekiza la n -1 y ya está la fórmula de la deriva de x sala n simplemente es n por equis a la n - un solo demostramos la deriva de cualquier número entero como potencia aunque la x puede ser cualquier número real después veremos que realmente funciona para cualquier número real los números y el exponente por supuesto bueno nos vemos en un próximo video bueno antes que eso quería señalar una cosa y es que yo les había dicho que necesitaba conocer el teorema del binomio para poder desarrollar esta prueba y y no es tanto así si pudiste darte cuenta sólo necesitamos algunos términos de esa de desarrollo por ejemplo a más vea la n en realidad es a la n más n veces a a la n menos uno por ve más una serie de sumandos que para fines de esta prueba no fuera necesario porque eso se hicieron 0 cuando hicimos tender el límite de delta x aproximándose a 0 así que si esto bueno te confunde no no lo tomes en cuenta sólo estoy diciendo que podríamos acabar el resto de la prueba sólo conociendo los primeros dos términos del teorema del vino nos vemos en próximos videos