Prueba de la regla de la potencia para potencias enteras positivas

acabamos de completar unos vídeos sobre el teorema del binomio pues pienso que ahora ya que los hemos terminado podemos hacer la prueba de la derivada de la forma general de las potencias de x esto es tomar la derivada de x a la n ahora ya que sabemos el teorema del binomio tenemos las herramientas para poder hacerlo como lo hacemos bueno empecemos con la definición clásica de derivada esto es el límite cuando delta x se aproxima a 0 de la función evaluada en x + delta x - efe x entre delta x cierto entonces f x en este caso es x + delta x a la n menos la función evaluada en x que es x a la n iv todo eso sobre delta x ahora sabiendo el teorema del binomio podemos desarrollar esta expresión la expresión x + delta x a la n si no sabes el teorema del binomio visita los otros vídeos en la lista de reproducción de pre cálculo y pon el vídeo del teorema del binomio por el teorema del binomio vamos a escribirlo acá abajo el límite cuando delta x tiende a cero solo estamos copiando lo que tenemos acá arriba desarrollando lo anterior nos va a dar x a la n x a la n más las combinaciones de n en 1 en 1 de nuevo revisa el teorema del binomio si es que esto te parece un poco extraño las combinaciones de n en uno por equis a la n menos uno por delta x ahora como tercer término vamos a tener las combinaciones de n en 2 en el 2 x x a la n 2 por delta x al cuadrado luego tendremos más y más sumandos y esos sumándose están dados por el teorema del binomio ahora por supuesto el último dígito que vamos a agregar será 1 por bueno en realidad serían las combinaciones de n en n ok cnn por equis a la 0 que en realidad es uno por delta equis a la n esa es la expansión del teorema del binomio ahora volvamos a la parte amarilla lo único que nos falta es restar del lado derecho x a la n ok y todo eso dividirlo sobre delta x sobre delta x vamos a ver qué tanto podemos simplificar lo primero notemos que tenemos estos dos x a la n que se pueden cancelar muy bien y ahora si nos fijamos en todos los términos de arriba notemos que tienen un factor delta x el cual podemos dividirlo entre el delta x que tenemos en el denominador esto será lo mismo entonces que vamos a escribirlo completo que el límite límite cuando delta x se aproxima a cero ok lo que vamos a hacer es dividir la parte del numerador entre el delta x del denominador lo cual nos da n combinaciones en uno por x a la n menos uno por delta x sobre delta equis que es simplemente uno más n combinaciones en 2 por equis a la n 2 por delta x al cuadrado entre delta x lo cual nos da simplemente un delta x de este lado y así tendremos la división de varios sumandos de la parte de arriba entre delta equis y finalmente lo que nos queda será n combinaciones en n n combinaciones nn por equis a la 0 que son así que no vamos a prestarle atención por delta x a la n 1 que es delta x a la n entre delta x entonces qué hacemos ahora ahora tomamos el límite cuando delta x tiende a cero como delta x tiende a cero entonces cada uno de los sumandos que tienen como factor a delta x van a hacerse 0 y el único que no va a desaparecer en esta suma será el primer término si todos esos sumandos nos dan ceros y nos quedamos únicamente con este primer término entonces lo que nos queda es lo siguiente las combinaciones de n en 1 por x a la n 1 y quién es eso cuáles son las combinaciones de en en uno bueno eso es n factorial entre 1 factorial x enee menos 1 factorial ok eso lo multiplicamos por x al n menos 1 ahora 1 factorial es 1 y n factorial entre n menos 1 factorial bueno piénsalo de esta forma 7 factorial entre 6 factorial nos da 7 10 factorial entre 9 factorial nos da 10 n factorial dividido entre n menos uno factorial en realidad sólo es n y esto lo va a multiplicar a x a la n 1 y ya está la fórmula de la derivada de x a la n simplemente es n por x a la n 1 solo demostramos la derivada de cualquier número entero como potencias aunque la x puede ser cualquier número real después veremos que realmente funciona para cualquier número real los números y el exponente por supuesto bueno nos vemos en un próximo vídeo bueno no antes que eso quería señalar una cosa y es que yo les había dicho que necesitabas conocer el teorema del binomio para poder desarrollar esta prueba y no es tanto así si pudiste darte cuenta sólo necesitábamos algunos términos de ese desarrollo por ejemplo a más b a la n en realidad es a la n más n veces a a la n 1 por b más una serie de sumandos que para fines de esta prueba no fueron necesarios porque eso se hicieron 0 cuando hicimos tender el límite de delta x aproximándose a cero así que si esto bueno te confunde no no lo tomes en cuenta sólo estoy diciendo que podríamos acabar el resto de la prueba sólo conociendo los primeros dos términos del teorema del vino nos vemos en próximos vídeos