Introducción a la continuidad

lo que quiero realizar en este vídeo es hablar de continuidad y continuidad en una función es algo que es súper fácil de identificar al verlo pero también vamos a hablar más adelante de cómo podríamos definirlo más rigurosamente y es que cuando digo que es realmente fácil de reconocer para que te queda más claro también a ti dibujemos algunas gráficas de funciones por aquí y bien este sea nuestro eje de la siesta ahora dibujemos nuestro eje de las equis y vamos a dibujar una función una función que se vendrá comportando algo así parte desde aquí y continúa continua más adelante de esta forma a luciendo así y este intervalo abarca desde aquí del 0 hasta este punto de acá y ahora la pregunta sería es esta función continua y tú me dirías no pues no lo es pues mira aquí sobre lo que vemos de la función brinca de repente de este punto a este de acá entonces no es continua entonces esto no es continuo no es continuo y podrás incluso decir que tenemos una discontinuidad en este valor que vemos aquí podríamos llamarlo como una discontinuidad de salto entonces tú puedes muy bien decir esto no es continuo y es un tanto obvio dado que estas partes no hacen conexión de ninguna forma entonces similarmente si ahora quisiéramos realizar otra función otra función está nuestro eje de leyes este va a ser nuestro eje de las x y nuestra función se va a comportar de la siguiente forma sale a partir de aquí y viene hacia arriba aquí tenemos un espacio indefinido y el punto que tenemos por acá arriba y ahora viene la misma pregunta es esta función continua sobre el intervalo que hemos dibujado y también me dirías no no lo es porque la función en este punto sube y de esta forma es un tipo de discontinuidad así que esta es la discontinuidad a la cual nosotros podríamos llamarle desmontable o bien aquí mejor conocida como una discontinuidad evitable y podríamos decir que este argumento de evitable es porque redefiniendo la función no pareciera discontinua al tener este punto este punto al tenerlo relleno aquí abajo tendríamos ya una función completamente continua así que lo que podría hacer es remover dicha discontinuidad pero bueno finalmente vamos a mencionar y vamos a dibujar otra función así que déjame dibujar el eje x y este es el eje de la yes y la función va a venir definida de cierta forma aquí y entonces aquí la pregunta es la misma no está es continuar y entonces tú me podrías argumentar que sí pues es continua en todos y cada uno de sus puntos que se encuentran dentro de la parte de la gráfica de la función y si hubiera algo fuera de ella pues no sería continua así que tú estarías en lo correcto y en general este es el gran sentido de la continuidad y yo creo que si tuvieras otra gráfica podrías identificarlo rápidamente pero vamos a pensar en algo más estricto o riguroso para definirla y pues recordando cuando nosotros entramos de una forma rigurosa con las definiciones de límites de épsilon si deltas esta definición nos podría ayudar para comprender mejor el tema de continuidad y para crear esto la definición más rigurosa de continuidad vamos a pensar en alguna función que tenga algunos intervalos entonces vamos a trazar nuestra gráfica y aquí vamos a tener lo vamos a dibujar por acá y vamos a tener el eje de las 10 nuestro eje de láseres y por acá nuestro eje de las equis y si observas un poco estas gráficas que tenemos por acá estamos dentro de algunos intervalos para marcar de qué punto a qué punto iban entonces aquí vamos a marcar nuestro intervalo de la función este sería el extremo final nuestros ejes y ahora vamos a trazar nuestra dicha función que va a ir de cada extremo del intervalo entonces se comporta algo así y podríamos decir que dicha función es continua ahora vamos a agregar un punto interior en dicha función que no cumple exactamente con el tamaño de los bordes y dicho punto interior aún así está dándole un efecto continuo a nuestra función entonces nosotros podríamos llamar que dicha función es continua en el punto en el intervalo y ahora bien lo que esto nos está diciendo es que el límite el límite cuando x se aproxima a c vamos a llamarle sea dicho punto que nosotros trazamos en nuestra función entonces el límite el límite de fx donde f x es la función que nosotros trazamos por aquí y dicho el límite cuando x se aproxima a se nos va a ser igual a un f de c lo que estamos diciendo es que dicho punto o bien fdc en la gráfica que es el límite se estará aproximando a ésta lo mismo que el valor en la función lo que esto ya hace un gran sentido y ahora ya pensando o imaginando dicho contexto podría pasar algo parecido hablando en cuanto a continuidad y bueno en este caso digamos que nuestro se va a ser este punto de por acá y esto va a hacer efe de c y bueno en este caso el límite de fx cuando x se aproxima a c sea igual a c estaríamos pidiendo que dicho límite se acercará por la parte derecha por la posición positiva de este lado de la gráfica para que nos diera cierto límite que nos diera que esto es igual a fcc pero bueno esto no es igual cuando decimos que el límite de fx cuando x aproxima hace por la izquierda no nos va a dar que esto sea igual a efe bc y por dicha razón esta función no es continua puesto que todo el límite debería de ser igual a fcc hablando en cuanto a las dos direcciones y pues este no es entonces esto no nos muestra lo que nosotros queríamos lograr con nuestra definición formal lo cual es bueno porque nosotros visualmente identificamos que dicha función no era continua y pasando de este lado y borrando el punto que habíamos marcado y entonces aquí aquí veamos nuestro límite primero vamos a definir que por aquí tenemos nuestro punto ce y el límite de fx cuando x se aproxima hace digamos que es igual a l y es que aquí hay que mirar ciertos aspectos aquí tenemos donde no está definido entonces ese va a ser el y nuestro punto clave se encuentra arriba entonces él y nunca va a ser igual a efe de ese puesto que nosotros podemos visualizar fcc hasta acá y entonces una vez más vemos que éste no cumple con nuestra prueba de continuidad pues el límite de fx no es igual a fs por lo que una vez más no pasa a nuestra prueba y bueno en nuestro último caso aquí si nuestra prueba va a pasar completamente puesto que todos los puntos están bien definidos para nuestra función en su intervalo lo cual también es bueno porque desde el principio nosotros habíamos acertado dicha función era continua pero bueno ahora vamos a dar una definición de lo que hemos estado nosotros hablando de acuerdo a nuestros ejemplos así que esta es una función continua para un punto interior y vamos a pensar en continuidad la continuidad en el punto interior lo vamos a escribir por acá abajo pues estamos hablando de continuidad y había puesto aquí que con respecto al borde pero para no confundirlo con el límite vamos a poner lo que es al final del punto al final del punto ce entonces primero vamos a considerar el lado izquierdo del punto final así que si nosotros tuviéramos el punto final y nos fijáramos de su lado izquierdo como vamos a empezar a hablar de esto me gustaría graficar lo para que se viera un poco más claro mi eje x michele y ahora tendremos por acá el punto inicial de nuestro intervalo y este nuestro punto final entonces dibujando nuestra función sobre este intervalo que luce así y luce la función algo así nosotros estamos hablando de nuestro punto izquierdo pensando en lo siguiente que nuestro punto se inicia aquí y este es el punto final izquierdo y hablando de esto vamos en cuanto a continuidad la continuidad en celo que nos diría lo que significaría sería que el límite de fx cuando x se aproxima a c puede inclusive acercarse del lado derecho más no del lado izquierdo entonces nosotros podemos acercarnos por la derecha y aproximarnos a efe de c y bueno esta es una especie de aproximación en cuanto a una dirección nosotros podemos decir que estábamos haciendo algo parecido a lo que hicimos por acá pero en este caso estamos aproximándonos simplemente en una sola dirección a nuestro punto que tenemos por aquí que sería en esta dirección y en conclusión podemos nosotros determinar que ese punto es continuo ahora también podríamos pensar en donde el punto no fuera continuo en dicha situación y entonces vamos a hacer la gráfica para que luzca de una mejor forma este es nuestro en nuestro eje x y nuestra gráfica va a estar dentro de este intervalo y se comporta de la siguiente forma aquí tenemos el punto aquí está indefinido y la gráfica viene algo así entonces podríamos decir que tenemos una especie de discontinuidad evitable o visualmente podemos decir que es eso y entonces aquí lo que pasaría es que la prueba no se completaría pues el límite si lo aproximamos hace del lado derecho lo que tenemos es l pues f que se encuentra en la parte superior donde si estaba definido el punto entonces aunque nos acercamos por el lado derecho esta función no será continua y bueno ahora podemos imaginar qué podría pasar si nosotros re dibujáramos el punto y dijéramos que es continua por la derecha en el punto c así que qué les parece si también lo dibujamos sé que me tardó un poquito haciendo esto de las gráficas pero es para que quede mucho más claro a la vista entonces aquí tenemos nuestro eje x este es nuestro eje y aquí tendremos nuestro intervalo para dicha función y en este caso nuestro punto ce se va a encontrar en este extremo y podemos decir bueno aquí nuestra función aquí en este caso cuando x es igual a c y en este caso nosotros nos podemos acercar a nuestro punto importante por la izquierda entonces el límite de fx cuando x se aproxima a c aquí lo tenemos que aproximar por la izquierda y entonces si decimos esto entonces estamos contemplando que es continua en ese sentido en esta dirección hacia el punto c y viceversa que es lo que hicimos en la situación anterior pero fue de otro extremo y éste fue en nuestro extremo derecho finalmente la continuidad no es realmente complicada de entender pues la idea es donde quiera que tú veas que la función está brincando teniendo una especie de espacio o brecha es realmente intuitivo ver que ahí no hay una función con continuidad puesto que no está conectada así que en este vídeo utilizamos lo que ya sabíamos de límites para tener una mejor definición en cuanto a continuidad