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Contenido principal

Transcripción del video

lo que tenemos aquí es x definida en términos de t definida también en términos de t y luego si tuvieran que graficar sobre todos los valores de t obtendrían una gráfica muy genial justo como esta y lo podemos probar no se podemos pensar en t igual a cero y encontrar cuáles son sus correspondientes xy james y también lo podríamos probar no sé contigua la uno y encontrar cuáles son sus correspondientes xy james y también para todas las demás de esas y así obtendríamos una gráfica tan genial como ésta pero el objetivo del vídeo no es sólo apreciar la genialidad de las gráficas o las curvas definidas por ecuaciones paramétricas en realidad lo que queremos es hacer un poco de cálculo y en particular queremos encontrar esta vez queremos encontrar cuál es la derivada de g con respecto a x con respecto a x en y bueno vamos a tomarnos un cierto valor así que qué te parece si nos fijamos en esta derivada cuando y se me ocurre tomar un valor de t así que qué te parece si calculamos esta derivada cuando te m es igual a no sé es igual a menos un tercio muy bien cuánto va a ser esta derivada de aquí y si están inspirados los invito a pausar el vídeo y tratar de resolver esto yo estoy a punto de hacerlo con ustedes en dado caso de que ya lo hayan hecho o si quieren que yo lo haga así que la clave es cómo encontramos la derivada de que con respecto a x déjame notarlo cómo podemos encontrar la derivada de qué con respecto a x bueno esta derivada y aquí está la clave de este vídeo va a ser igual a la derivada de game con respecto a t la derivada de james con respecto a t esto a su vez dividido entre la derivada de x la derivada de x con respecto a t aquí está la clave de este vídeo si fueras a ver estos diferenciales como números esto funcionaría matemáticamente bien ahora esto puede llegar a ser un poco no riguroso cuando empiezas a hacerlo pero si lo piensas y es una manera fácil de pensar acerca del por qué esto en realidad podría tener sentido la derivada de ye con respecto a x sería igual pues la derivada de ye con respecto a t entre la derivada de x con respecto a t muy bien entonces como nos ayuda a esto bueno porque podemos encontrar la derivada de aquí lo tenemos vamos a buscarla derivada de x con respecto a t ok y esto simplemente va a ser bueno aplicar la regla de la cadena tengo la derivada de lo exterior es decir la derivada de dos veces el seno esto con respecto al interior me quedarían dos veces el coseno de bueno de lo mismo de uno más tres t ya esto habrá que multiplicarlo por la derivada del interior la derivada de esta función que tenemos aquí y bueno eso es muy fácil la derivada de un hombre es cero esto se va y me queda solamente la derivada de tres t con respecto a t lo cual es simplemente 3 así que a esto lo multiplicamos por 3 ahora la derivada de que con respecto a t eso es más sencillo la derivada de james con respecto a t es simplemente aplicar la regla de las potencias me va a quedar 3 por 2 lo cual es 66 cm elevado a la 3 -1 lo cual es 26 de cuadrada y entonces esto ya lo podemos escribir como bueno tengo arriba a 6 temp cuadrada esto a su vez está dividido entre y aquí abajo tengo 3 por 2 lo cual es 66 veces el seno de uno más 3 ok pero de aquí podemos cancelar estos 26 es este 6 16 se van y entonces me quedan simplemente esto va a ser igual a de cuadrada cuadrada esto a su vez dividido entre el co seno de uno más tres t de lujo esto es a lo que equivale la derivada de ye con respecto a x pero nosotros queremos evaluar esta derivada cuando tema es igual a menos un tercio así que vamos a hacerlo entonces en este valor cuánto va a valer mi derivada bueno pues aquí me quedaría déjame ponerlo aquí me quedaría de cuadrada lo cual sería menos un tercio esto elevado al cuadrado esto a su vez está dividido entre el coseno de quien bueno me quedaría uno más tres por menos un tercio pero tres x menos un tercio es menos uno y uno menos 10 así que me quedaría el coseno de cero y bueno esto de aquí es simplemente 1 así que puedo decir que me la derivada de ye gon respecto a x cuando te es igual a menos un tercio igual a un noveno y ahora podemos hacer una pequeña tabla para ver cómo se ve esto si me fijo en tem y por otra parte me fijo en equis y por otra parte me fijo en james en este valor de menos un tercio que tengo menos un tercio bueno cuando te es igual a menos un tercio aquí que me quedaría me quedaría uno más tres por menos un tercio es el seno de cero el seno de 00 por dos me va a quedar 0 y en james en que tengo menos un tercio elevado al cubo es menos 1 entre 27 por 2 me queda menos 2 sobre 27 eso quiere decir que nos estamos fijando en el punto cero coma menos 2 entre 27 así que es el punto que tenemos por aquí es el punto donde estamos tratando de encontrar la pendiente de la recta tangente y ya sabemos lo acabamos de encontrar que la pendiente de la recta tangente es un noveno así que una forma de pensarlo es que si nos movemos cuatro unidades y media hacia la derecha una dos tres cuatro y media y media hacia arriba por aquí entonces podemos dibujar la recta tangente que se va a ver más o menos así por acáp también me puedo mover no sé cuatro unidades y media una dos tres cuatro y media y media hacia abajo se vería más o menos así esta sería una buena aproximación de mi recta tangente de la cual ya encontramos su pendiente la pendiente es de un noveno y no solamente es agradable a la vista sino que supongo también es algo útil