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Diferenciación de funciones con valores vectoriales

Visualizar la derivada de una función vectorial de posición. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

en el último vídeo esperamos haber conseguido un conocimiento decente sobre cómo funciona una función de valores vectoriales o mejor aún una posición es una función de posición que en cierto modo es digamos un reemplazo a los parámetros tradicionales de cómo se escribe una curva verdad en este vídeo quiero hacer una introducción al significado de lo que es la derivada o de cómo hacer una derivada de una función de valores vectoriales en este caso será respecto a un parámetro t así que déjenme dibujar algunas cosas nuevas por aquí digamos que tengo la función de vectorial r dt ok que le ponemos con flechita verdad y esto no es diferente a lo que hice en el vídeo anterior esto es x dt por y más 7 por jota donde y jotas son nuestros vectores unitarios en la dirección xy de verdad para además bueno si quisiéramos hacer una curva en el espacio agregaríamos una zeta de t por cada verdad así que bueno esto describe simplemente a una curva que está entre los valores de t qué te está entre los valores hay de verdad severas y déjenme déjenme esforzarme en dibujar algo algo interesante voy a dibujar no sé curva salazar por aquí digamos que la curva se vería algo así ok esto es cuando te vale ah y que irá en esta dirección y hasta acá es cuando te vale ve aquí es cuando vale a ok y esto sería x de a y acá llegué a por supuesto de este lado sería x bebé y acá arriba estaría de bebé muy bien ahora lo que vimos en el último vídeo que lo que describe esta curva es son los extremos de estos vectores de posición así que esto es rda esto es rda este vector es rda pero pero lo que quiero pensar es cuál es la diferencia entre dos puntos y digamos vamos a [ __ ] dos puntos al azar y algunos t al azar así que digamos que este es r dt ok voy a hacerlo de este lado y con colores un color más agradable entonces digamos que estoy aquí es r de alguna p que alguna te concreta no sé cuál sea pero es r de t y ya sabes bueno no sé esto es alguna en particular digamos que quiero yo saber digamos cómo aumenta la función cuando aumenta la t es decir vamos a ver qué pasa con una r de temas h si vemos al parámetro t como tiempo digamos que se aumenta un poquito el tiempo en alguna cantidad ahora vamos a estar por aquí verdad aquí en amarillo este va a ser r dt es más un período de tiempo h porque hay un valor ligeramente mayor para h ahora tenemos que preguntarnos qué tan rápido que qué tan rápido es esta r cambiando respecto a t ok entonces lo primero que hay que decir es cuál es la diferencia entre estos dos vectores si yo si yo tomo estos dos y quisiera visualizar la diferencia digamos aquí tengo r que es nuestra posición a high y lo evaluamos en temas h y de ahí hay que restar r de t esto es rd y que conseguiríamos tenemos que revisar el álgebra de vectores verdad pero básicamente conseguimos este vector de remarcarlo con un color agradable es este vector verdad es que estoy pintando en magenta este vector en magenta déjame déjenme déjenme ver esto ok este es r de temas h - r de verdad ok ahora debe tener sentido porque cuando añades los vectores es como colocar el segundo en la cabeza verdad es decir por ejemplo tenemos nuestro rdp que es el verde más y si le sumamos este morado que es r de temas h - r de t es todo este vector cuando cuando añadimos dos vectores en realidad es como poner este segundo vector morado en la cabeza del verde verdad entonces cuando hacemos esto simplemente lo que nos nos da como resultado es este amarillo y como lo predije verdad va a ser igual al amarillo que es r de temas h y esto se puede ver fácilmente también porque al que prácticamente se cancelan los rd de verdad este y éste se cancelan y van a cancelar sí espero que haya quedado claro de cómo como encontrar la dirección del vector tangente no estamos diciendo este en realidad estamos no estamos diciendo que sea este vector verdad cuando hacemos la resta en realidad es un vector anclado en el origen como todos los vectores pero bueno se puede entender más o menos de esta forma así que este individuo de aquí este vector literalmente describe el cambio pero lo que nos interesa es como bueno primero déjenme desarrollar esto esto esto va a ser igual y esto es lo mismo que x de lo que dejen de hacerlo déjenme hacerlo acá el primer vector es x de temas h que multiplica a nuestro vector unitario y y también tiene ya de temas h que multiplica el vector j ok éste es sólo el primer vector todo esto es el primer vector y ahora hay que restarle rd t así que esta parte va a ser menos lo podría ser acá pero vamos a hacerlo acá abajo - x dt ok por iu y menos aquí sería un menos distribuyendo el signo menos 7 por j ok en realidad déjeme escribirlo de esa forma no estamos restando este vector que es r de verdad así que es este individuo de acá así que tienes x dt por y más 7 por jota y restamos todo este vector verdad que es multiplicar por 1 - además podemos revisar un poco sino si no te acuerdas muy bien de qué estamos hablando exactamente verdad revisa otros vídeos sobre álgebra de vectores o qué sé yo así que bueno yo creo que voy a necesitar un poco más de espacio para poder continuar con esto déjenme escribirlo por acá así que tengo r de temas h ok - r dt y ahora estos voy a agrupar porque los primeros dos vectores del amarillo y el morado tienen como como componente ahí entonces déjenme agrupar esto así que tenemos x de temas h - x dt y todo esto va a multiplicar a nuestro vector y que es el vector unitario en la dirección x verdad y ahora a continuación vamos a sumar siete más h que le restamos 7 todo esto lo agrupamos y multiplica al vector unitario jota verdad sólo estoy re ordenando las cosas por ahora y esto lo que nos está diciendo es el cambio entre estas dos eres verdad / r de temas h - r de t donde aquí h es la cantidad que aumentó el tiempo ahora lo que quiero lo que quiero lo que dijimos es que queríamos averiguar cuál es el cambio instantáneo verdadero así que lo que quiero ver es bueno cuánto hizo este cambio durante un pero un periodo de horas o de tiempo en lograr en lugar de escribir h pudimos haber escrito del tate pero bueno aquí lo que hace falta es dividir entre h lo que quiero decirle a mis vectores cambian mucho pero quiero decir que tienen que cambiar durante un periodo de tiempo y esto es análogo a dividir o utilizar el delta de verdad aquí h es nuestro delta t ok este es el cambio el cambio que hay por unidad de tiempo así que lo que hay que dividir es por h verdad aunque la diferencia entre t y t + h es h así que vamos a dividir todo entre h todo entre h que estamos realmente multiplicando un un vector por un escalar simplemente o bueno en este caso estamos dividiendo que en realidad es nada más multiplicar o dividir cada una de las componentes verdad así que para cualquier diferencia h no se está diciendo esta diferencia cuanto cambia o cómo cambia el vector r verdad pero bueno en realidad queremos hallar el cambio instantáneo así que vamos a hacer algo análogo a una pendiente como cuando estábamos viendo los primeros vídeos de cálculo y la ruta de acceso en cuestión déjenme hacer un ejemplo más o menos algo así digamos que fuera un trazo lineal ok es decir si nuestro camino fuera como una línea en nuestro cambio promedio en digamos digamos que tuviéramos dos vectores de posición uno de ellos está aquí no no tienen que ser necesariamente paralelos verdad por ejemplo obtener ese y puedo tener este otro ok y luego para describir el cambio entre estos dos por h o por unidad de tiempo estamos calculando el cambio en nuestro parámetro verdad esto es el h que también podríamos considerarlo como la del tate es la gente encuentra más fácil escribir h verdad que la del tate pero bueno de todas formas estoy preocupado por el cambio instantáneo que estamos tratando con curvas en general no necesariamente líneas así que bueno si queremos hacer esto podemos tomar como en casos anteriores el límite cuando h tiende a cero así que vamos a tomar el límite de ambos de ambos lados vamos a utilizar colores vibrantes para para esto entonces cuando tomamos el límite cuando h tiende a 0 de ambos lados así que aquí también tomamos el límite en este sumando y también en este sumando cuando se tiende a cero lo que quiero decir es bueno qué pasa o cuánto cambia nuestro r por un cambio muy pequeño verdad cuando la diferencia se hace cada vez más y más y más pequeña esto es exactamente lo que aprendimos primero cuando calculamos la pendiente o la velocidad instantánea verdad la pendiente de una recta tangente bueno esto parece un poco esto parece como de la forma indefinida verdad porque estamos dividiendo entre un 0 digamos pero para suerte de nosotros esta expresión de aquí es ya muy conocida y de hecho es la derivada verdad estamos multiplicando este es una derivada multiplicando a un vector así que esto es simplemente x prima de teo la derivada de x respecto de esto de aquí es de prima de t o bien la derivada de g respecto de así que de repente podemos definir esta derivada de r como esta derivada esta deriva esta derivada esto es lo que vamos a llamar la derivada de r r prima de t ok que también podríamos llamar de rd te aviso aquí es simplemente es es notación pero bueno esta es su derivada y esto va a ser igual ok dejan escribirlo r prima de t es igual a bueno esto que es la derivada de x con respecto a t que es x prima de t y que multiplica al vector unitario y verdad más de prima de t que multiplica al vector unitario jota en el sentido vertical verdad es un resultado bastante bonito y muy sencillo pero la cosa difícil puede ser para en realidad la cosa difícil está en que se aplica verdad si pensamos en lo que sucede permítanme hacer algo más gráfico sólo para obtener la visualización de una manera digamos saludable así que vamos a decir que esta es mi curva y vamos a decir que queremos averiguar el cambio instantáneo de este punto justo aquí rd te digamos y entonces si tomamos ere de temas h lo vimos ya es eso digamos puede ser un punto por acá esto puede ser r de temas h ok ahora mismo la la diferencia entre estos dos y esto es sólo el número el vector que apunta de rdr de temas h verdad ok esto es difícil de visualizar aquí un poquito lo que va a decir pero lo que quiero hablar es sobre las magnitudes por ejemplo estos dos la diferencia es este vector pero luego cuando dividimos por h si ay si pensamos que h es un número pequeño digamos menor que uno vamos a obtener un vector mayor verdad pero este es el cambio promedio que tenemos pero como se obtienen más pequeños y más pequeños valores esta ere prima de t su dirección va a ser tangente a la curva y creo que si pueden visualizar esto estos estos llegan a hacer más y más y más cerca la diferencia digamos la diferencia se hace cada vez más pequeña sin embargo al multiplicar por nuestra h la magnitud del vector cambia la dirección en la que se va aproximando cada vez más a la tangencial a una tangente a la curva verdad pero entonces como les decía estamos también dividiendo por una h muy pequeña es decir estamos tomando el límite de h cuando h tiende a cero entonces a lo mejor la magnitud de este vector es difícil de visualizar pero puede variar verdad y esa magnitud va a ser dependiente de la parametrización de la curva la dirección es la que depende de la forma ok la magnitud no depende de la forma depende de la parametrización entonces r prima es tangente a la curva o podrían imaginar que este vector está sobre la línea tangente a la curva la magnitud de la misma es un poquito difícil de entender y voy a intentar darle intuición en el siguiente vídeo pero esto es lo que quiero que ustedes entiendan ahora mismo porque vamos a utilizar esto en el futuro cuando hagamos integrales del link sobre funciones con valores vectoriales