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Segundas derivadas (funciones vectoriales)

En este video encontramos la primera y segunda derivadas de la función vectorial h(t)=(-t⁵-6,4t⁴+2t+1).

Transcripción del video

tenemos aquí una función con valores vectoriales h y a lo que me refiero cuando digo que es una función con valores vectoriales es que si evaluamos a h en t aquí h está en función de t y si evaluamos a h en algún valor de t no nos va a regresar simplemente un número sino que nos va a regresar un vector en este caso es un vector con dos dimensiones esta parte de aquí es el componente x del vector y esta otra parte es el componente y ahora como seguramente ya sabes tenemos muchas formas de denotar a un vector tenemos por ejemplo la forma que usan los ingenieros donde la componente x está multiplicando a un vector horizontal tal vez vas a ver a un vector de este estilo más la componente y 4 t al cuadrado más 2 t más 1 multiplicando al vector unitario horizontal así es que estas son dos formas distintas de representar al mismo vector simplemente son notaciones distintas y muchas veces vamos a ver que estas funciones tienen esta flecha arriba pero también muchas veces no les ponemos la flecha encima y nada más decimos que son funciones de valores vectoriales pero bueno ya que terminamos con esto ahora sí vamos a ver la primera y la segunda derivada de h con respecto a t vamos a empezar con h prima de t encontrar esta derivada es muy sencillo simplemente tenemos que encontrar la derivada con respecto a t de cada una de las componentes si por acá tomamos la derivada con respecto a t la derivada con respecto a t bueno pues vamos a utilizar la regla de las potencias por aquí tomamos el 5 y lo multiplicamos por el menos 1 y nos queda menos 5 por t elevado a las cinco menos 1 o sea elevado a la potencia 4 y luego la derivada de menos 6 con respecto a t es 0 entonces es esta es la tasa de cambio de la componente x con respecto a t y luego vamos a la componente i y hacemos lo mismo tomamos la derivada con respecto a t y aquí igual vamos a tener que usar la regla de las potencias aquí multiplicamos cuatro por cuatro y nos queda 16 por t elevado a la 4 - 1 o sea elevado a la 3 más la derivada de 2 t que es simplemente 12 y luego la derivada de 1 con respecto a t pero eso como ya sabemos es igual a 0 entonces ya terminamos con esta derivada esta es la tasa de cambio de la componente x con respecto a t y esta es la tasa de cambio de la componente y con respecto a t y bueno los vectores siempre pueden representar muchísimas cosas esto también lo podemos interpretar como que te es el tiempo y el vector es la posición en dos dimensiones y entonces si nos fijamos en la tasa de cambio de la posición con respecto al tiempo obtenemos el vector de la velocidad pero luego si tomamos la tasa de cambio de este vector con respecto al tiempo lo que vamos a obtener es el vector de la aceleración así es que si encontramos h prima prima del tiempo eso a que es igual bueno pues otra vez tenemos que aplicar la regla de las potencias 4 x menos 5 es igual a menos 20 x a la 41 o sea a la 3 y luego 3 por 16 es 48 por t a la 3 menos 12 y luego la derivada de 12 0 y listo así es que si tenemos una función como esta y vemos a t como el tiempo y a estas dos entradas como la posición la derivada nos va a dar la velocidad y la segunda derivada la aceleración aunque también es importante recordar que estos vectores pueden representar cualquier cosa que tenga dos dimensiones