Repaso sobre puntos de inflexión

Los puntos de inflexión son aquellos puntos donde la gráfica de una función cambia de concavidad (de $\cup$‍ a $\cap$‍, o viceversa).

Los puntos de inflexión se encuentran de forma similar que los puntos extremos. Sin embargo, en vez de buscar puntos donde la derivada cambia de signo, buscamos puntos donde la segunda derivada cambia de signo.

Encontremos, por ejemplo, los puntos de inflexión de $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4+x^3-6x^2$‍.

La segunda derivada de $f$‍ es $f^{″}(x)=6(x-1)(x+2)$‍.

$f^{″}(x)=0$‍ para $x=-2,1$‍, y está definida para todos los números reales. $x=-2$‍ y $x=1$‍ dividen la recta numérica en tres intervalos:

Evaluemos $f^{″}$‍ en cada intervalo para ver si es positiva o negativa en ellos.

Podemos ver que la gráfica de $f$‍ cambia de concavidad en $x=-2$‍ y $x=1$‍, por lo que $f$‍ tiene puntos de inflexión en ambos valores de $x$‍.