Puntos de inflexión (algebraico)

o sea x igual a esta función que tenemos aquí y nos preguntan para qué valores de x la gráfica de g de esta función que tengo aquí tienen un punto de inflexión así que primero vamos a recordar que es un punto de inflexión el punto de inflexión es donde cambiamos la concavidad o podemos decir donde la segunda derivada con respecto a x de la función original cambia de signo así que lo voy a poner así cambia entonces qué te parece si nos fijamos en nuestra segunda derivada y para trabajar con la segunda derivada bueno primero vamos a encontrar quién es la segunda derivada así que para eso voy a escribir la función original la voy a escribir aquí tengo 7 x es igual un cuarto a un cuarto de x elevada a la cuarta potencia menos 4x elevado al cubo más 24 x cuadrado más 24 x cuadrada muy bien y ahora vamos a calcular la primera derivada la primera derivada de esta función requiere aplicar la regla de la potencia es decir voy a multiplicar 4 por 144 por un cuarto es 1 así que no lo voy a escribir y después me va a quedar x elevado a la 4 menos uno lo cual es 3 muy bien a esto le voy a quitar y ahora voy a multiplicar esta potencia por 4 me va a quedar 3 por 4 12 x a la potencia 3 - 1 es decir x cuadrada y por último voy a agarrar este 2 lo voy a multiplicar por este 24 y me va a quedar más 48 48 x muy bien y ahora vamos a calcular la segunda derivada que mi prima de x va a ser igual y otra vez vamos a aplicar la regla de la potencia me va a quedar este lo voy a multiplicar por este me quedaría 3x cuadrada y después a éste lo pueden multiplicar por 12 me va a quedar menos 24 x más 48 48 muy bien así que podemos pensar en donde esta función de quien cambia de signo y bueno si observas ésta es una función continua que está definida para toda x así que los únicos candidatos potenciales en donde la segunda derivada cambia de signo es cuando esta expresión de aquí es igual a cero entonces vamos a buscar 3x cuadrada menos 24 x más 48 es igual a cero así que voy agarrar este color y voy a buscar donde 3x cuadrada menos 24 x 48 esto de aquí es igual a 0 y ahora observa que todos divisible entre 3 entonces si dividimos todo entre 3 me quedarían x cuadrada menos 8 x 1616 esto igual a 0 y estos factores hablé si es actualizable esto es lo mismo que x menos 4 por x menos 4 o x menos 4 esto elevado al cuadrado y bueno esto va a ser igual a 0 y de aquí voy a obtener que x igual a 4 hacen que esta expresión se cumpla es decir que algo interesante pasa en x igual a 4 este de aquí es nuestro candidato vamos a ver si en efecto la segunda derivada cambia de signo en este punto o lo así que para eso deja de hacer por aquí una recta numérica se me ocurre hacerlo como por aquí y vamos a ver qué pasa con valores antes y después de x igual a 4 así que supongamos que aquí tengo al 2 al 3 por aquí tengo al 45 muy bien déjame poner con este color que aquí tengo este valor de x igual a 4 y bueno nosotros ya sabemos que la segunda derivada de x cuando x vale 4 esto es igual a 0 ahora qué te parece si nos tomamos un valor de x menor que 4 se me ocurre no sé trabajar con x igualdad 2 nada mejor con x igual a cero entonces cuánto vale la segunda derivada evaluada en cero bueno pues esto me quedaría esto se va a esto se va y me queda simple y sencillamente 48 entonces esto sería igual a 48 lo cual es positivo eso quiere decir que en todo este intervalo de aquí en todo este intervalo aquí la segunda derivada de x es mayor que 0 o dicho de otra manera en este intervalo de aquí vamos a tener una concavidad hacia arriba pero ahora pensemos qué es lo que pasa a la derecha de x igual a 4 y para eso qué te parece si me tomo no sería se me ocurre tomarme un valor para evaluar mi segunda derivada pero el valor fácil así que me voy a fijar en qué es lo que pasa con la segunda derivada cuando x vale 10 bueno cuando x vale 10 me va a quedar 10 al cuadrado 100 x 3 me quedan 300 300 menos 24 por 10 es 240 ok más 48 bueno pues observa que esto es lo mismo que aquí 300 menos 240 eso es 60 más 48 me va a quedar 108 estos 108 lo cual también es positivo eso quiere decir que en este intervalo de aquí en este intervalo de aquí la segunda derivada de x también va a ser positiva en ambos lados tendremos una concavidad hacia arriba en ambos lados la segunda derivada es positiva y como x igual a 4 era nuestro único candidato posible ya que la segunda derivada evaluada en 4 es igual a 0 entonces no hay valores para x en donde g tenga un punto de inflexión si la segunda derivada cambia de signo al tomarnos un valor anterior al 4 y 1 posterior ya sea de positiva negativa o de negativa positiva entonces este sí sería un punto de inflexión pero en este ejercicio en particular se mantiene positiva vamos de positiva a positiva entonces se vería más o menos así iría por aquí aquí tomaría el valor d y en lugar de cruzar este eje va a volver a crecer se va a mantener siendo positiva y bueno si regresamos la pregunta para qué valores de x la gráfica gtx tiene un punto de inflexión ahora sí podemos contestar y la respuesta va a ser para ninguno valor de x valor x y voy a poner signos de admiración para aumentar el dramatismo