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Repaso de máximos y mínimos absolutos

Repasa cómo usamos cálculo diferencial para encontrar puntos extremos absolutos (máximos y mínimos).

¿Cómo encuentro puntos mínimos y máximos absolutos con cálculo diferencial?

Un punto máximo absoluto es un punto en el que la función adquiere su valor máximo posible. De forma similar, un punto mínimo absoluto es un punto en el que la función adquiere su valor mínimo posible.
Supongamos que ya sabes cómo encontrar máximos y mínimos locales, entonces encontrar puntos extremos involucra un paso más: considerar los extremos en ambas direcciones.
¿Quieres aprender más acerca de extremos absolutos y su relación con el cálculo diferencial? Revisa este video.

Encontrar extremos absolutos en un intervalo cerrado

El teorema de los valores extremos nos dice que una función continua debe alcanzar sus valores máximo y mínimo absolutos en un intervalo cerrado. Estos valores extremos se obtienen en un punto extremo relativo de la función o en los puntos extremos absolutos del intervalo.
Encontremos, por ejemplo, los extremos absolutos de h(x)=2x3+3x212x en el intervalo 3x3.
h(x)=6(x+2)(x1), así que nuestros puntos críticos son x=2 y x=1. Dividen el intervalo cerrado 3x3 en tres partes:
IntervaloValor de xh(x)Veredicto
3<x<2x=52h(52)=212>0h es creciente
2<x<1x=0h(0)=12<0h es decreciente
1<x<3x=2h(2)=24>0h es creciente
Ahora nos fijamos en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:
xh(x)AntesDespuésVeredicto
39Mínimo
220Máximo
17Mínimo
345Máximo
En el intervalo cerrado 3x3, los puntos (3,9) y (1,7) son mínimos locales, y los puntos (2,20) y (3,45) son máximos locales.
(1,7) es el mínimo local más bajo, así que es el punto mínimo absoluto, y (3,45) es el máximo local más grande, así que es el punto máximo absoluto.
Observa que el valor mínimo absoluto se obtiene dentro del intervalo y el valor máximo absoluto se obtiene en un extremo.
Problema 1
f(x)=x33x2+12
¿Cuál es el valor máximo absoluto de f sobre el intervalo cerrado [2,4]?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Encontrar extremos absolutos en todo el dominio

No todas las funciones tienen un valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto en todo su dominio. Por ejemplo, la función lineal f(x)=x no tiene un máximo o un mínimo absolutos (puede alcanzar valores tan bajos o altos como queramos).
Sin embargo, algunas funciones tienen un extremo absoluto en todo su dominio. Analicemos, por ejemplo, la función g(x)=xe3x.
g(x)=e3x(1+3x), por lo que nuestro único punto crítico es x=13.
IntervaloValor de xg(x)Veredicto
(,13)x=1g(1)=2e3<0g es decreciente
(13,)x=0g(0)=1>0g es creciente
Imaginemos que caminamos sobre la gráfica de g. Comenzamos desde el extremo izquierdo (desde ) y vamos hasta el extremo derecho (hasta +).
Comenzaremos yendo hacia abajo y más abajo hasta que lleguemos a x=13. Luego, iremos siempre hacia arriba. Así que g tiene un punto mínimo absoluto en x=13. La función no tiene un valor máximo absoluto.
¿Quieres aprender más acerca de extremos absolutos en todo el dominio? Revisa este video.
Problema 1
g(x)=ln(x)x
¿Cuál es el valor máximo absoluto de g?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

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