Puntos de inflexión a partir de gráficas de funciones y derivadas

lo que vamos a intentar hacer en este vídeo es obtener una apreciación gráfica de los puntos de inflexión de los cuales ya hemos hablado en algunos vídeos bien lo primero que quiero recordarles es que un punto de inflexión es un punto de nuestra gráfica en donde nuestra pendiente de la recta tangente cambia de ser decreciente a creciente o decreciente a decreciente así que por aquí tengo la gráfica de una función esta de aquí y déjame graficar la recta tangente para algunos puntos cuando x es igual a menos 2 así es como se ve la recta tangente puedes ver su pendiente y ahora mientras hacemos crecer a x puedes ver que la pendiente es positiva pero está decreciendo hasta que llegamos a este punto de kim donde mi pendiente es 0 y después mi pendiente es negativa y sigue decreciendo sigue decreciendo hasta llegar a este punto de aquí donde estamos cercanos a x igual a menos punto 9 y después de ese punto observa la pendiente empieza a crecer así que parece que algo interesante está pasando aquí en esta x que se aproxima a menos 0.9 parece que este es muy buen indicador digo lo estamos viendo de una manera gráfica para nada es una prueba rigurosa pero parece que aquí en esta x cercana a menos 0.9 tenemos un punto de inflexión así que déjame escribirlo este de aquí es mi punto de inflexión déjame ponerle nombre perfecto y deja que te muestre de nuevo esto ya que lo tenemos etiquetado para x igual a menos 2 observa tenemos una pendiente positiva y ésta está decreciendo decreciendo decreciendo hasta llegar a 0 después de crecer sigue decreciendo es negativa negativa y llega a este punto y después de este punto algo interesante está pasando ahora la pendiente empieza a crecer esta es una forma en la que puedes encontrar un punto de inflexión ahora también puedes encontrar puntos de inflexión cuando observas a la primera derivada recuerda un punto de inflexión es un punto de nuestra gráfica en donde nuestra pendiente de la recta tangente va de un decrecimiento a un crecimiento o viceversa y la derivada la voy a poner aquí ok déjame alejar un poco esta gráfica para que veas todas las partes interesantes ok observa un poco aquí y ahora puedes ver que esta gráfica de color rojo es la derivada de mi gráfica de color azul observan primero la derivada está decreciendo decrece decrece decrece decrece lo que significa que la pendiente de mi recta tangente está decreciendo y lo podemos ver aquí la pendiente de la recta tangente también está decreciendo hasta que llegamos a este punto donde la pendiente de mi recta tangente cero justo aquí puedes ver que en mi gráfica de rojo en la gráfica de la derivada aquí tomamos el valor de 0 y después pasamos a valores negativos en mi gráfica de rojo estamos tomando valores negativos pero seguimos decreciendo y después de seguir decreciendo decreciendo decreciente llegamos a este punto que es nuestro punto interesante y puedes ver que aquí llegamos a un punto en mi gráfica de la derivada donde cambiamos de de crecer a crecer así que déjame ponerle nombre porque este punto también es interesante observa aquí viene algo importante una forma de identificar un punto de inflexión en mi primera derivada en gráfica de rojo es buscar los puntos mínimos o máximos de mi primera derivada porque allí se muestra un punto en donde nuestra derivada cambia de dirección en este caso va a cambiarte de crecer a crecer o ya sabemos al revés en este caso nos está indicando que tenemos aquí un punto de inflexión muy bien ahora pensemos en la segunda derivada y para eso la voy a traer por aquí porque tengo la derivada de la derivada y es más déjame alejar un poco esta pantalla para que veas completamente lo que está sucediendo ok me gusta por aquí y ahora qué hay de interesante por aquí bueno observa parece que nuestra gráfica de la segunda derivada está que tengo aquí cruza el eje x cuando x es igual a menos 0.8 es más déjame etiquetar esa información aquí tenemos que la segunda derivada cruza el eje x que es justo donde tenemos el punto de inflexión y eso tiene sentido porque nuestra segunda derivada está pasando de negativa a positiva observa lo que significa que nuestra primera derivada está cambiando de un decrecimiento a un crecimiento lo que significa que la pendiente de mi recta tangente cambiando desde crecer a crecer y por lo tanto aquí tenemos un punto de inflexión y lo podemos ver una y otra y otra vez aquí estamos decreciendo decreciendo decreciendo decreciendo y en este punto empezamos a crecer a crecer a crecer de nuevo y bueno es importante mencionar que la segunda derivada no debe solamente tocar el eje x sino que debe de tocarlo y cruzarlo porque podrías decir que hay de este punto de aquí aquí en el punto 20 es más déjame ponerlo en este punto de aquí tocamos el eje x pero no lo cruzamos así que nunca vamos de una derivada que crecen a una derivada que decrece así que lo importante de este vídeo es que puedes encontrar los puntos de inflexión viendo a la función o viendo la gráfica de la derivada de la función o viendo la gráfica de la segunda derivada de la función si quieres buscarlos viendo la gráfica de la función original tienes que buscar aquellos puntos donde la pendiente de mi recta tangente pasa de decrecer a crecer de decrecer a crecer o bueno el otro caso es decrecer a decrecer bien si quieres buscarlos viendo la gráfica de la primera derivada lo que tienes que buscar son aquellos puntos donde tengamos un máximo un mínimo y por último si quieres buscarlos viendo la gráfica de la segunda derivada entonces tienes que buscar aquellos puntos donde cruzamos el eje x no solamente donde tocamos el eje x sino que lo tocamos y lo cruzamos hasta aquí este vídeo nos vemos en el siguiente